(1)背理法を用いた有名な証明です。普通、証明問題はその場で考えるのが多いですが、この程の証明は暗記しましょう。そのくらい頻出ですし、似たような問題が出てきたときに応用ができます。絶対暗記。以下証明
√2が有理数であると仮定する。
√2が有理数であるので、
√2=n/m (既約分数) と表すことができる。両辺2乗して、
2=n²/m²
2m²=n²
n²=Nとすると、上式より少なくともNは2の倍数といえる。
n/mは既約分数である以上、nは自然数であるので、nも2の倍数といえる。
よってNは4の倍数。
したがってm²は少なくとも2の倍数であるが、上と同様の議論をして
m²は4の倍数、mは2の倍数である。
しかし、このときn、mがともに2の倍数ならば、n/mが既約分数という条件に矛盾している。
それは最初の√2が有理数であるという仮定が間違いである事にほかならない。
よって√2は無理数である。
大門9
これはその場で考える系の証明です。(ほぼすべての証明問題はそう。ただ(1)は例外)
x²-y²
=(x+y)(x-y)=1
よってx²-y²=1となるには、
(ⅰ)x+y=1かつx-y=1
または
(ⅱ)x+y=-1かつx-y=-1
であればよい。
x+yにおいて、x、yは共に自然数であるので、x+yは必ず2以上となる。よって(ⅰ)は不適。
x+yにおいて、x、yは共に自然数であるので、x+yは必ず正の整数となる。よって(ⅱ)も不適。
よって題意は示された。
丁寧にありがとうございます！
(1)番、もう一方の回答と違うのですが……💦
どちらが正解なのでしょうか、🙇♀️