✨ ベストアンサー ✨
1/cosh⁴x の積分ですから、1/cos⁴x の積分と同じような考え方で解くことはできそうです
∫ 1/cosh⁴x dx
＝∫ (1/cosh²x)(1/cosh²x) dx
＝∫ (1-tanh²x)(1/cosh²x) dx
＝tanh²x－(1/3)tanh³x＋C
t=e^x の置換もそんなに大変じゃなさそうなので簡単になったかと言われると微妙ですが、違う解き方ということで紹介しました
僕が覚えていたのは
(sinhx)'=coshx, (coshx)'=sinhx, cosh²x-sinh²x=1
くらいでした
あとは、相互関係や加法定理、微積分の公式などで三角関数によく似たものがあるという事実は頭に入れておいて、必要に応じて導出していますね
なるほど、導出してるって言うのなら実際に試験などで使うにはあまり実践的じゃないかもしれないですね。普段はe^xで、本当に必要なときにだけ双曲線関数を使うくらいがいいですね。
そんなに大変でもないですよ。今回の問題で使ったのは
1/cosh²x＝1-tanh²x
1/cosh²x＝(tanhx)'
の２つくらいですが、前者は cosh²x-sinh²x=1 の両辺を cosh²x で割れば得られますし、後者は問の(1)から分かります
そう言われればそう感じちゃいましたね。三角関数の加法定理みたいに使うときに瞬時に導出できるようにすれば大丈夫って言う感じかな。
そんな感じですね
双曲線関数じたい超頻出ってわけでもないですし、指数関数に直しても解けるので正直ところ覚えても覚えなくてもいいんじゃないかと思えてきました
回答ありがとうございます！
双曲線関数を使うんですね。実を言うと1/cos⁴x の積分はぱっと思いつかないです笑。
この関数知ってるんですが変形と微積分はまだ覚えようとしてないですね。ときどきこれ使えそうな問題見かけますが、覚えたほうがいいですかね。難点は忘れやすいところですが。