Question

blue

0≦θ<2πのとき、関数y=sin^2-cosθ
の最大値と最小値を求めよ。
また、そのときのθの値を求めよ。

という問題で、自分で解いてみたら、
t=-1/2で最大値-4/5をとり、x=0で最小値1をとる
と変な答えが出てしまいました…。
教えてください。お願いします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

置換しているようですが問題にないtやxは使ってはいけません、θに戻しましょう

y = sin²θ-cosθ=1-cos²θ-cosθ = -(cosθ+1/2)²+5/4
cosθ=t とすると
y=-(t+1/2)²+5/4、また -1≦t≦1
よって
t=cosθ=-1/2 即ち θ=2π/3、4π/3 のとき 最大値 5/4
t=cosθ=1 即ち θ=0 のとき 最小値 -1

blue

気づくの遅くなってすみません。
素早い回答ありがとうございます🙇‍♀️
確かにそうですね…！うっかりしてました。
私は平方完成の計算ミスで符号を間違えていたようですね。tの範囲とcosθが-1/2のとき最大値をとることについては理解しているのですが、最小値のときについてよく分かりません。もしよろしければ、教えていただけますか？

鹿

グラフは上に凸、軸の位置はt=-1/2です
-1≦t≦1 なので軸の位置は中央のt=0よりも左側にあります
ということは t=1 のときに2次関数は最小値を取るので、上記のような解答になります

blue

なるほど！理解できました。
追加の質問にも丁寧に答えてくださり
ありがとうございました！