Question

maverick

(2)で、k<0を付け足しても○でしょうか？また、なぜk<0を付ける必要がないのでしょうか？

罰 すべての(ある>) に対して…                    Ne

>      eV:
本 (mtsTD>g+1(ただし あし を
(1) すべての実数ヶに対してこの不等式が成り   時代どの仔の。

囲を定めよ、              の
(2) この不等式を満たす実数ヶが存在するように。 定数んの値の範を。。
+                                                                       (を)

 

解法のプロセス

og     不等式 or?上 7z二>0 (<キ0)

関本証人式oz           ()) すべての実数>に
こついて考えることにします.                敵対し
について考えることにしま           ZZ*十のz十と>0 (Zキ0)

この 2 次不等式が, すべての実数に対して成
7する条件を調べてみましょう.                      いつ ジー

9三gy?十5z十c (2キ0) のグラフを利用して考     隊補7テ4gc<0
-るとわかりやすいです.

すべての実数 > に対して gx2十6十c>0
-なるのは,
ーg“十6十c のグラフがヶ軸より上に浮い               ターoz*本』
ていることです. いいかえると,

下に凸で, 軸と共有点をもたないこと, つま
) g>0 かつ (の=) の一4gc<0 が条件です.

の符号。のの符号によって, ヶ=gz*十py十c

                                                                                                                                                                    

)グラフは次のようになります.
>0 のとき
(の=) 一4zc>0          (の=) ゲー4gc=ニ0

る              る⑧         ⑤           ③
③
KOレ/     軸                        Z    SI
マダ
のく0 のとき
(カ=) が一4agc>0          (の=) %-4。。=0

/@ ヽ                                                 (の=) が4。cこ0

ダ

SI も4   nk kcほる 4 >

に対して ox*十6r十で>0 となるのは、
@>0、(の=) ゲー4gcく0
のときであることが細得できるでしょう.

次に、
dy*十6ぶ十で>0 となる実数 が存在する

条件はどうでしょうか
前の6 つのグラフを見ると、g>0 ならO.K.
です、そして、cぐ0 でも, (の=) ゲー4gc>0 な
ら OK、です、。@ま。り
g>0 または (り=) ゲー4gc>0
が条件となります.

GE 5

(<キテェ十1)>ァ十1 より

EN02EIWDEHが0 請計昌目雪・(*)
(1) すべての実数とに対して 2 次不等式(*) が成
り立つ条件は

を>0 かつ (一1)*一4z(を1)く0
(を--1)*ー4(を一1)く0 より
(を-1(3を1>0

間際計上]こん

これと ん>0 より 1くん
(2) (*) を満たす実数>が存在する条件は

ぁ>0 または (ーー1*一4z(を>0 一。、

ン

(%ー-1ー4&を(&-D>0 より ーすくんく1

したがって, 一語<を(ただしんさ0)

 

和を グラフがr軸より
に (も) あればぼょい

年 gz"填5ァ十c>0
2 次関数と 2 次:
で考える

を” の係数が正て

を 7" の係数が正:

0
29 圭%、ゃ<0、

をんキ0 は問題

 

[mW

』24) すべての実数>について,

  
 
 

\つょうなの値の範胃を求めょ・

gz2寺(2ー1)x寺6一1く0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

おたま

①kの付け足しについて
私ならこんな感じで回答するかなというのを
のせておきます

私の書き方は実質的には
一行で言えば
k>0またはk<0かつD>0を意味し

おそらく質問者様はこのように
書いてもokか?という質問なのかなと
勝手に思っています

私の回答を見れば明らかですが
私は
k>0またはk<0かつD>0は賛成派です

k>0かk<0で下に凸か上に凸かが
大きな視点として重要だと思うからです

下に凸であれば(❇︎)を満たすXは当然ある
上に凸であるならX軸と2点で交わる　のが条件
と考えた方が頭が整理されるかなと、

②k<0が書かれていない理由
k<0が書かれていないのは、それがなくとも
d>0で十分だと事前に知っているからで
質問者様の2枚目の写真の説明で
a>0またはD>0条件となると
公式みたく(丁寧に太文字で)まとめられてますが

それはあくまで事前にまとめたからであって
(もちろん自分で試験などでまとめて
k<0不要と気づけばそれはそれでokです)

普通は
下に凸であれば(❇︎)を満たすXは当然ある
上に凸であるならX軸と2点で交わる
と二つに分けて考えるかなと思います

真素直に考えれば質問者様の
質問が浮かぶのはとてもとても自然だと思います

maverick

とても助かりました！ありがとうございます。

Answer 2

ゲスト

k<0ってどこから出てきたの...？

k>0「！ または！」(k-1)²-4k(k-1)>0

(k-1)(-3k-1)>0

-1/3<k<1

よって求める条件は

k>0 、または、-1/3<k<1より(k≠0)

-1/3<k(k≠0)

日本で式を表すならば

k>0:下に凸のグラフ　①

(k-1)²-4k(k-1)>0:異なる2つの実数解をもつ　②

この2つを満たせばもれなく数えられる。

①の条件に②は一部重複するが、答案上問題はない。
最後は範囲を答えるだけでなんらかの個数が問われているわけではないので影響しない。

k<0を②につけると

上に凸のグラフのときに異なる2つの実数解をもつ

となるが下に凸グラフが異なる実数解を持っても条件を満たすのでわざわざ分ける必要はない。