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x→y→z→xと座標を設定し直したものを解説します。
長さPQを積分するときには、円周に沿った座標sで積分する必要があります。これをy=tで積分すると、求める表面をyz平面に射影したものの面積を求めていることになります。
説明を少し変えてみました。
求めるのは、線分PMが通過する領域の面積(の定数倍)ですが、
∫√(4-t^2)dtだと線分P~M~の通過領域の面積になってしまいます。
P,Mを平面x=0に射影したものをP~,M~とした。これでは射影した面積になってしまいます。
また詳しく解説してくれてありがとうございます！下の図でようやくわかりました。
すごいですね。本当に積分を考えてる感じです！いつもただ公式を当てはめてたんですが、積分って奥が深いですね。
それと上と下の線分も積分するのは誤りとありましたが、今図を見ながらがんばって想像したらたしかに、そういう形になりますね。意外な形しててでびっくりです。元の円柱の式でなかなかわかりにくいですね、連立方程式で変形するとわかりやすくなりますね！
形がわかってしまったら、普通の解法がなぜ通用するのか急にわからなくなりました。∬√{1+(dz/dx)²+(dz/dy)²}dxdyって公式です。この問題だとxy平面の円の上にある(傾斜はあるけれど)面が水平っぽい(xy平面みたいな)面を積分するっていうイメージなんですが、この形って円周上にしか面がない上に、その表面ってxy平面と垂直さえしているんですよね？こんな形でもこの公式で正しい(と思われる)結果が出ることが今不思議に思えました。
簡単にいうとこの公式を使うと体積の積分をしてるような気分になりますね
私の絵はx→y→z→xと座標を設定し直したものですが、もともとの軸の設定ではxy平面の上に(下も)覆い被さる葉っぱ(パラグライダー)状の屋根の面積を求める問題です。
√{1+(dz/dx)²+(dz/dy)²}dxdyは、
xy平面上の4点(x,y),(x+dx,y),(x,y+dy),(x+dx,y+dy)でできる正方形の上の屋根の面積です。これをxyで積分して全面積を得ます。
一方、z(x,y)dxdyは、
同じく4点でできる正方形から屋根までの高さz(x,y)と正方形の面積dxdyで、正方形から屋根までの柱の体積です。これをxyで積分すると体積を得ます。
なるほど、座標系の違いだったんですね。実はx→y→z→xの意味がわからなかったです。今書いてみたら確かに葉っぱみたいな面になってますね！座標系で結構違うように見えるなんて思いませんでした。
もし普通の座標系でその面がxy平面と垂直してるんだったら、まだこの公式は使えますか？
って書いてる途中で、使えるけど積分したら0になりそうって思いました…けど、dz/dxとdz/dyが0になっただけであと1がありますね。面の高さがその公式に含んでなさそうので、あってなさそうです。
もとの与えられた式のxをyに、yをzに、zをxに変えた問題を考えたということです。x軸をy軸に、y軸をz軸に、z軸をx軸に設定し直した、と言ってもいいです。混乱させてすみません。
もとの座標でいうと、表面はz=±√(4-x^2)ですから、初めの答案の計算通りで全く問題ありません。
仮に表面がxy平面に垂直に、屏風のように立っていた場合、表面の方程式はx=f(y,z)のように書けるので、(単に今度はyz平面の上にx=f(y,z)が屋根のように被さっている)
∫√{1+(dx/dy)²+(dx/dz)²}dydz
とすればいいです。
わかりました！内部って円柱の式は不等式で、表面積の円柱の式は等式だったんですね。そして垂直のときにその平面で積分できないんですね。積分の方向を変えるっていうのも結構自然な考え方です。
回答ありがとうございます！
これは…また別の解き方ですね。初めて見ました。ちょっと理解できなくてすみません。