まずx^2+y^2=(√2)^2は中心が原点で半径√2の円です.
2x+yがある定数kをとるとすれば, 2x+y=k⇔2x+y-k=0と書け, これは直線の式です.
この直線と原点との距離dはd=|2*0+0-k|/√(2^2+1^2)=|k|/√5で表せます.
円と直線が共有点を持つ条件はd≦√2[等号成立のとき接点となっている]で
|k|/√5≦√2⇔|k|≦√10⇔-√10≦k≦√10と求まります. 以上から最大値は√10, 最小値は-√10です.
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[注]
最大値と最小値を与える点を求めたいときは, 原点を通り2x+y=kに垂直な直線x-2y=0と円との交点を求めるといいです.
x=2yなので(2y)^2+y^2=2⇔y=±√10/5. すなわち(x, y)=(±2√10/5, ±√10/5) [複号同順]
あとは最大値と最小値をとるときの対応を考えればいいでしょう.
説明が足りないと思います.
どうして図形の問題に帰着出来るか? その値が最大・最小である理由はどうして?
といった部分がこの答案だと曖昧です. 丁寧に論理展開の動機部分を書くように心がけてください.
たとえば入学試験だと, そういう部分がしっかり書けている答案は部分点をもらえる可能性が高いです.
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2x+yの値をkと置く. x^2+y^2=2の下で2x+y=kのkがとり得る範囲を求めたい.
このkが存在するためには中心(0, 0), 半径√2の円と直線2x+y=kが共有点を持つことが必要十分である[ここで図形の問題に置き換える].
これは原点と直線2x+y=kの距離dが円の半径√2より小さいことと同値である[グラフを書いて説明してよい].
すなわちd=|2*0+0-k|/√(2^2+1^2)≦√2[ここは公式を使った形で書くだけで十分でしょう]
⇔|k|≦√10⇔-√10≦k≦√10 [不等式は最大・最小値と範囲の隈無さがはっきり分かります. うまく活用したいですね].
これから2x+yの最大値は√10, 最小値は-√10であることが分かる.
2x+yが最大値√10をとるとき[場合分け. ここから下はその解答でよいでしょう. ただし点と距離の公式を使った旨味がありません],
直線2x+y=√10は円x^2+y^2=2の接線となっている. したがって原点を通り2x+y=√10に垂直な直線x-2y=0との交点を求めればよい.
これを解くとx=2√10/5, y=√10/5と求まる.
2x+yが最小値-√10をとるとき, 同様に考えて[同じ議論なので節約しよう]x=-2√10/5, y=-√10/5と求まる.
以上をまとめて, (x, y)=(2√10/5, √10/5)のとき, 最大値√10, (x, y)=(-2√10/5, -√10/5)のとき, 最小値-√10をとる.
[追加研究] これはベクトルを学んだ後に読むといいです. u=(2, 1), v=(x, y)と置いて|u||v|≧(u・v)^2というのが本質だからです.
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コーシー・シュワルツの不等式から(2^2+1^2)(x^2+y^2)≧(2x+y)^2が成り立つ. ただし等号成立は2=x/y⇔x=2yのときである.
問題文よりx^2+y^2=2なので(2x+y)^2≦5*2=10⇔-√10≦2x+y≦√10がいえる.
以上から, 2x+yが最大値√10をとるとき, 等号成立条件から(x, y)=(2√10/5, √10/5),
2x+yが最小値-√10をとるとき, 同様に等号成立条件から(x, y)=(-2√10/5, -√10/5)であることがいえる.
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有名不等式を活用すれば, このようにスマートに解くことも出来ます.
[訂正]
|u|^2|v|^2≧(u・v)^2というのが本質だからです.
丁寧な解説ありがとうございます！！！
これからは数学の記述式解答などで曖昧な部分を無くしていく練習をしていこうと思います！問題の解説、加えて記述のアドバイスまでありがとうござました！
[補足]
問題を読み違えていて, 最大値と最小値を求めるだけではなく, そのときのx, yの値も求めるんですね.
そういうわけで[注]の部分も解答に含めてください.
2x+yが最大・最小になるとき, 直線2x+y=kは円x^2+y^2=2の接線になっていることは上で述べました.
接点と円の中心を結んだ直線は接線と垂直に交わる, という円の性質を利用して接点の位置を[注]で計算しています.