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ダメです. 置換積分⇔合成関数の微分法の部分が抜けています.
積分の逆は微分なので, 結果を微分すれば被積分関数が復元できるはずです.
((1/6)cos^6(x)+C)'=cos^5(x)(cos(x))'で(cos(x))'が抜けています.
***
(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x)であることを頭に入れておく.
∫sin^5(x)dx=∫sin^4(x)sin(x)dx [sin^4(x)はcosで表せます.(cos(x))'=-sin(x)なので"しめしめ"というわけです]
=-∫(1-cos^2(x))^2(cos(x))'dx [余計な-は前へ出しておきます]
=-(1/5)cos^5(x)+(2/3)cos^3(x)-cos(x)+C [慣れれば置き換えする必要はありません]

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