Question

ゲスト

e^sinxって(−∞,∞)で連続でしょうか？
sinxは−∞,∞で連続だと思うのですが

Answer 1

Crystal Clear

連続です。

高校の範囲f(x)の連続性を示すなら、
lim[t→x] f(t) = f(x)
を示すことになり、これは自明に成立します。

大学の範囲で証明するなら、連続性の定義である、ε-δ論法で示さなければなりません。こちらは面倒です。直接示してもいいですし、
e^xとsinxが連続関数であることを示したの後に、2つの連続関数の合成は連続関数であることを示してもよいです。どちらにせよ面倒です。

ゲスト

大学の範囲ですがε-δ論法がまだ出てきてない範囲なので連続関数の合成としていけそうですね。ありがとうございます。
解答の書き方としては、e^yが連続、y＝sinxが連続で合成関数が連続という書き方で問題ないでしょうか？

Crystal Clear

連続関数の合成関数が連続であることは、ε-δ論法を使って証明されますので、これを使うことはオススメできません。

lim[t→x] f(t) = f(x)
の両辺を計算してから、一致するので連続、とするのがよいでしょう。