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指数対数の桁数問題の手筋の初手は、
「=10^xとおく」です。
2^n=10^x
とおくと、
x=log10(2^n)=n×log10(2)=0.3010n
よって、
2^n=10^0.3010n
ゆえに、条件10^9<=2^n<10^10から、
10^9<=10^0.3010n<10^10
底10>1であるから、指数を比較して、
9<=0.3010n<10
0.3010で割って、
29.9......<=n<33.2
nは自然数であるから、
n=30,31,32,33
∴(カ)······4
最高位を求めるためにも同様の手筋を使います。2^30の場合を検討してみます。
2^30=10^y
とおくと、(先程のxとは違う文字にしていますがやってることは同じです。)
y=log10(2^30)=9.03
よって、2^30=10^9.03=10^9+10^0.03
(10^9は桁数を表すだけなので、最高位の数字を考察するのに必要な要素は10^0.03のみです。)ここで、
10^0=1
10^0.3010=2
であるから、
1=10^0<10^0.03<10^0.3010=2
よって、10^9をかけて、
1×10^9<10^9.03<2×10^9
したがって、2^30の最高位の数字は1
他の場合も同様に考察すれば、解を導き出せます。
疑問点や質問があれば遠慮なく。
