Question

ぴ

画像の問題のウは、どうやってとくのか教えて頂きたいです。
連続とはそもそも何かがわからないので、基礎から教えて頂きたいです。

実数 民 上の関数 () を次で定める :

ター1 みは有理数
7で) =  ji     る は無理数

 

cocs。 Bm fy(z7)) = [アト Hm myH(e/9)) =
ウ|.

 

 

 

げ(z) が z 王zo で連続となるような実数 zo 全体の集合は

2エーーつ0 中*
ィo2W:5ーー  )

ウの選択肢 :

空集合である

1元集合である

2つ以上の元をもつ有限集合である
無限集合であるが全体ではない
実数全体である

mAよらoN一
Oo

 

 

 

 

 

 

 

 

である, また.

数学 極限 大学 高校

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

M

lim[x→xo]f(x)=f(xo)が成り立つ時、f(x)はx=xoで連続であるといいますよね。

簡単に言えばxo付近でグラフが線で繋がっているかどうかで連続かどうか判断できます👍

今回の関数をグラフに書くことはできますか？
x=・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・などの整数や、
x=1/2,1/3,1/4,・・・などの分数における点は取れると思います。
それも無数に。

でも、その点を線で結ぶことはできるでしょうか？
できませんよね😅
なぜなら、xが無理数のときは0になるからです。

x-1になる有理数も、0になる無理数も無限にあって、グラフを線で繋ぐことはできません！
つまり、連続となる点xoは存在しないことになります。
よって、ウの答えは空集合になると思います。

わかりにくかったらすみません！
また聞いてください！🤗

ぴ

ご丁寧にありがとうございます！なんとなくはわかったのですが、どうやら答えは空集合でもないそうです😭残りの3つのどれかということになるのですが、どれになりますかね...？

M

すみません。間違いでしたね😅
答えは2の1元集合になるかと思います。
その元は{1}です。

(以下解答例)
a を任意の無理数（ 1 でない）とし、ε=|a-1|/2 とすると、ε>0 である。
有理数の稠密性により、a に収束する有理数列 {q_n} がとれる。
任意のδ>0 に対して、{q_n} が a に収束するので、ある番号 N があって
|q_N - a| < min{|a-1|/2,δ}
とできる。
この時、|q_N - a| <δ であり、
|f(q_N) - f(a)|
= |(q_N-1) - 0|
= |(q_N - a) + a-1|
≧ |a-1| - |q_N - a|
> |a-1|/2 = ε
よってf は無理数 a では不連続

同様に、1でない有理数でも不連続であることが示せる。

次に、任意にε>0 をとる。
δ=εとすると、|x-1|<δ であるような実数 x に対し、
|f(x)-f(1)| ≦ |(x-1) - 0| = |x-1| < δ=ε
よってf は 1 で連続

以上よりf(x)はx=1でのみ連続となるので、求める集合は1元集合となる。

ぴ

ありがとうございます！🙇‍♂️