✨ ベストアンサー ✨
収束のときに私が想像するグラフがy=1/x+aとy=-1/x+a
です
max(......)は(......)の条件の最大値
a(n)=1/nのとき狭義単調減少数列なので最大値はn=1のときの1
a(n)=(-2)^nのとき、最大値だけを見るならa(2n)=4^nで考えればいいですね。このときa(2n)は正の無限大に発散するので+∞ (∞)
a(n)=b(n)ということはa(n)の最大値が常にnによって更新されているか、変化がないということなのでそんな数列は単調増加
また、b(n)は常にa(n)の最大値を取るので減少することはないから単調増加
つまり上に有界な数列であれば収束するということです
b(n)≦b(n+1)<A
必要十分の話
ク
単純にA≠αについてa(n)→A (n→0)
である可能性があれば十分でない
a(n)^2についてその可能性があるので違いますね
ケ
収束性に用いるN、εはほぼ自由に決めることができるのでその値が変化しても数列の収束性は変わりません
コ
これは収束の条件ではないです。
ある地点からa(n)はずっとαである数列ということを言っています。これは|a(n)-α|<εからは言えません
a(n)^2→A^2は
a(n)→Aから示すことはできますが
a(n)→-Aからも示されます
これが同値ではないということの理由です
収束を考えるときに用いるN、εは記号はなんでもよく
N^2=n、2ε=eとすれば変わらず収束が決めれます。
不等号に=がついている場合はε=0を代入しても成立する必要があるので
ある地点(N)から上はすべてa(n)-α=0
つまり、a(n)=αである数列である必要があります
これはa(n)の数列を限定するものなので同値ではない
ということです。
なるほど、、わかりました！ご丁寧にありがとうございます！
ありがとうございます！上半分はなんとなくはわかったのですが、必要十分条件がいまいちよく分かりません...そういうものだと思った方がいいんでしょうか？