線形写像の計算で疑問に思えたところがあります。

数学

大学生・専門学校生・社会人

解決済み

5年弱前

線形写像の計算で疑問に思えたところがあります。

わたしの計算過程はあってますか？行列の計算法則がちょっとつかめなくて、赤いところのように表現行列を一番前に出さないとAf(x)のようにならないと思うんですが、行列の積は明らかにそうやって簡単に順序を変えられないですよね。
あ、それとも(b 2c 0)から表現行列をくくりだすところから間違ってるんでしょうか。こういう行列のくくりだしは行列をどこにおけばいいかわからないんですが、教えてくださいませんか？AxとtxBのように2パターンありますよね。

よろしくお願いします。

735 例題2 (表現行列とベクトルの成分) 次の線形変換の, 与えられた基底に関する表現行列を求めよ。ア7: 旭[z]。一更[z]。 7(7(%)) =ニア) [z]。の基底 : 1 xy 表現行列を求める方法として, 表現行列の定義を用いる他に, 表現行列とベクトルの成分の関係を用いる方法がある。表現行列とさクトルの成分の関係は非常になじみやすい関係でちろう。それでは今度は 2 つの方法で解いてみよう。 (解1) 7①)=0, 7⑦)=1, 7(⑦の=2x より (7Q①) Z7@) 7@う9)=Q * w( ららの〇のどららー 0 りぐ表現行列の定義 0 よって, 求める表現行列は 0 1 0 4=|0 0 2 ……(答) 0 0 0 と (解 2) 7⑦)=gx?十60x十c王cr1十の・z十の7 の成分は上のら 7(7(?))=ア'((X)ニ2gz十5王の1十2g・z十0・z” の成分は | 0 の 0 1 0Q\ /c カ 2Z |三[0 0 212| で成分と表現行列の関係 : けり人 0 0 0 0/\g 5 8

行列積計算

回答

✨ ベストアンサー ✨

バンダースナッチ

5年弱前

間違いではないですが、回りくどいような気はしますね

なず 5年弱前

ありがとうございます！

間違いじゃないのですか？赤い行列の式の結果は3x3の行列になる気がします。でも実際は多項式になりますよね。

バンダースナッチ 5年弱前

お気持ちをいえば、係数ってどうでも良くて、必要な情報って(特に有限次元だと)表現行列なんですよね。アレでTf=Afとかければいいので、ある意味fは見た目ゴリゴリのベクトルでも多項式でもいいんです。後で適切に抜き出せばきちんとできるはずなので

バンダースナッチ 5年弱前

細かく言えば、｢なんで非可換なのに交換してんねん！｣とかあるはあるんですが、まあ｢それぞれのベクトルについて係数抜き出して…｣とか出来てればまあいいでしょう…ただ、無限次元線型空間とかでこういう議論の進め方は(全体的に)おすすめ出来ませんが…

なず 5年弱前

ちょっと理解できなくてすみません。係数というのは、(1 x x²)のほうですか？t(a b c)の法ですか？

表現行列Aを、f(x)とかければいいということでしょうか。実はかけることならわかるんですが、かけたあとのAf(x)はどうやって表示すればいいかちょっと変に思って。普通左にAがあって右にf(x)があるなら、具体的な値を代入してもAは左にあって、f(x)は右にありますよね。ですが今の式で正しい形だとf(x)が(1 x x²)とt(a b c)の2つのものになってしかも一つが左でもう一つが右でバラバラです。表現行列のAが真ん中になってしまいます。これは暗黙に行列の位置が変わったように思えます。

バンダースナッチ 5年弱前

^t (a b c)の方ですね。もっと言うと、この係数が(1 x x²)の代わりになってくれているので、今回は解けたというわけです

バンダースナッチ 5年弱前

しかも、これよく考えりゃ基底として(a bx cx²)と取ってるから混乱の元が生まれてるっぽいですね

なず 5年弱前

すみません…やはり係数のことはよく理解できないです。
基底は(a bx cx²)だと言われたらたしかにそうかもしれないですね。でもそうなっても(a bx cx²) A ^t(1 1 1)のように、右の方にまだ何か残るような気がします。やはり最後は3次の行ベクトルじゃなくて一つの値になりますから右のベクトルは消えないですね。