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実はパッと思いつくのはコツがあります。注目するのは0<θ<π/2のところです(それ以降は導入する方法は単純に今から説明する方法の序盤のやり方と単位円を使えば簡単に出ますしいちいち問題を解く上で導入しないので省きますm(_ _)m)。
まず覚えることを覚えます。覚えることは
① 三角比の定義(1枚目参照)
②直角三角形の比 (2:1:√3と√2:1:1)と対応する角度(2:1:√3の直角三角形のπ/6 (30°のこと)の角の位置など)
③単位円
です。
①、②を使えば、例えばθ=π/6のとき、
2:1:√3の直角三角形を考えるとr=2,x=1,y=√3なので三角比の定義から
sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=√3/2,
tan(π/6)=1/√3
(タンジェントはtanθ=sinθ/cosθを使って求めてもよい)
になります。
このようにしてθ=0,π/6,π/4,π/3,π/2はパッと出すことができます。
(θ=0のときはx=r,y=0 . θ=π/2のときはx=0,y=r と考えてあげればいいです。)
次にπ/2以降ですがコサインに-(マイナス)がついているのでなんで-がつくのかだけ説明するために"単位円"で説明します。
(納得したらそれで結構です。)
単位円とは原点を中心とする半径が1の円のことです。
この半径を直角三角形の斜辺とみてあげるとr=1なので、三角比の定義から
x=cosθ, y=sinθ ー ✳︎
(↑x=○とは座標上でy軸に平行な直線、
y=☆とは座標上でx軸に平行な直線)
とすることができます。
(しつこく言うようですが今から説明するのはコサインだけです。)
-がつくのかだけ説明なので単位円をどうこう使って…みたいな説明はしませんが ✳︎の関係式からθがπ/2を超す(正確には
π/2<θ<3π/2の範囲)とx=○の直線は図のようになることがわかります(2枚目参照)。したがって、このときx<0(xはマイナスという意味)となっているので.x=cosθからcosθもcosθ<0 したがって、長くなりましたがこれがcosθに-がつく部分の説明です。
-がつく理由を納得してもらえればあとはパッと出すためのコツの説明です。
序盤の方の説明で0≦θ≦π/2のθのサインとコサインとタンジェントの値はパッと出せるようになったと思います。
実はあとは質問で記載された表に対してちょっとした対称性と△π/□ の分母を変えないように分子を選ぶだけです。
π/6≦θ≦5π/6までについて
3枚目を参照してもらうと青線に対してsinθの値は対称、cosθ,tanθは-がついているだけで-を無視すれば対称になっています。
次にθの分母だけ見てもらうと、これも青線に対して対称になっています。分子の選び方は分母の形を変えないかつπを超えないように選んであげればいいだけです。
この対称性を見抜けると、この表は簡単に完成できます。
まとめ
0<θ<π/2のときのsinθ,cosθ,tanθは出せるようにする。それ以降のsinθなどの値は対称性を使ってθの分母だけ見て-を無視した値はパッと出し単位円を使ってマイナスが付くかどうか判断する。
長くなってすいません。
わかりにくかったらすいません。
ありがとうございます✨
解説詳しくて分かりやすかったです！