Question

ゲスト

（1）だけでもいいので教えてください！
お願いします🙇‍♂️

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

(1)s=0, t=0ならば関数方程式はf(0+0)=f(0)e^0+f(0)e^0⇔f(0)=0
***
(2)lim[h->0]f(h)/h=lim[h->0](f(h)-f(0))/(h-0)=f'(0)=1
***
(3)　任意の実数xに対して
lim[h->0]{f(x+h)-f(x)}/{(x+h)-x}
=lim[h->0]{f(x)e^h+f(h)e^x-f(x)}/h
={f(x)*lim[h->0](e^h-e^0)/(h-0)}+{e^x*lim[h->0]f(h)/h}
[lim[h->0](e^h-e^0)/(h-0)はe^xのx=0における微分係数]
=f(x)+e^xが成り立つから, すべてのxで微分可能である. このとき f'(x)=f(x)+e^x.
***
(4) g(x)=f(x)e^(-x)ならばf(x)=g(x)e^x. これを上の微分方程式に代入すると
g'(x)e^x+g(x)e^x=g(x)e^x+e^x⇔g'(x)=1
これから任意定数Cをとってg(x)=x+Cと求まり, 置き換えからf(x)=(x+C)e^xとなる.
初期値f(0)=0を満たすためにはC=0でなくてはならないから, f(x)=xe^xである.

ゲスト

ありがとうございます😭

LUX SIT

関数方程式の問題で片方を0と置くタイプの問題も確かにあります[そこで詰まってしまったんですよね].
その方法が通用しなかった時は, この問題のように両方を0にすると, うまく打ち消し合って万事解決することが多いです.
他の問題は微分係数の定義と関わっているので, よく分かっていなかったら復習しましょう.