Question

紫野

この問題が分からないので教えてください🙇‍♀️
(回答が配布されておらず、例題を見てもあまりピンと来なかったためこちらで質問しました💦)

CNGE Akた| ーーーでーー

 

2以上の自然数ヵに対し,ヵと Z?二2 がともに素数になるのは Z三3 の場合
に限ることを示せ。                                    (6 京都大

数学 約数と倍数 余り

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

lasato

こういう問題で手をつけられなくなった時は、具体的に考えるのが一番です。

まず、nは素数なので、少なくとも奇数ですよね。
そこで、3以外の素数を入れて行って実際にn^2+2が素数ではないことを確かめてみましょう。
n=5,7,11,13,17としていくと
n^2+2=51,123,171,291となりますね！
全て3で割り切れるので素数ではないです。

ここで「もしかしたら？」と思いますよね。nが3以外の素数ならn^2+2は3の倍数になるのではないか？と予想します。

こういうとき、modを使うのが1番議論しやすいでしょう。結果的にn^2+2が3の倍数であることを示したいので、まずmod3で考えます。

nは3の倍数でないので、素数nは少なくともn≡1又は2(mod3)のどちらかを満たします。

すると、そのどちらにおいてもn^2≡1(mod3)となりますね。なのでn^2+2≡0(mod3)となって、無事、n^2+2が3の倍数であることが示ました。

今示したのは、nが3の倍数じゃなかったらn^2+2は3の倍数になるということです。つまり、例えばnとn^2+2が同時に素数だったとします。すると少なくともnは(3以外の)3の倍数ではなくて、すると今度はn^2+2は3の倍数になってしまいます。つまり、両立することは不可能ということですね。

一方nが3の時はn^2+2=11となり、どちらも素数です！なので、これだけがどちらも素数であるようなnとなることが言えます！

もう一度言いますが、こういう手の出しにくい問題は具体的に考えましょう！

紫野

ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 2

LUX SIT

考え方を説明します. 答案は自分で作成してみましょう.
***
この問題の強い条件は"素数"です.
nは素数なので2以上です.
n=2ならばn^2+2=2^2+2=2*3なので素数ではありません[偶数の素数は2のみ].
問題によるとn=3のみが条件を満たす[特殊性に注目], とあります.
連続する(n-1)n(n+1)が3の倍数であることを思い出せば, n^2+2=(n-1)(n+1)+3という等式を作ることが出来ます.
ℓを自然数としてn=3ℓ±1とすれば, n^2+2は3の倍数で3より大きい数になるので素数ではありません.
またn=3ℓで素数となるのはℓ=1のみです. n=3ならばn^2+2=11で確かにともに素数です.
***
上の等式が思いつかなかった場合は具体的に書き出してみましょう.
n=5ならばn^2+2=27=3*9, n=7ならばn^2+2=51=3*17, n=11ならばn^2+2=123=3*41, n=13ならばn^2+2=171=3*57
なので3の剰余類で分類すればいいことが分かるでしょう.　あとは上と同じです.