Question

なず

線形写像の核空間がよくわかりません。

要素が多項式の空間の核空間の要素も多項式のはずですが、この問題の三番目の解答はベクトルです。なんでですか？

よろしくお願いします。

722 第4章 線形写像

ェーー 過去問研究4一4 (線形写像の表現行列③)

3 次の実係数多項式の全体
= {2g十6x十cy?十のxy? 2, 5 c, @三玲)
は (1 x。*5 2引 を基底とする 4次元実ベクトル空間である。 線形写像
了: アーを

のの         @の

フー6か  ?ヵビア

によ 隊 BITの半仙いE和えま。
(1) の基底 1, *。*?,。 9 に関する了の表現行列, すなわち
び①, 7の, 7eの, 7の9) xy 294
を満たす 4X4 行列4 を求めよ。
(2) rankげを求めよ。      (3) Ker7 を求めよ。         <鹿児島大学〉

 

のニー

 

 

 

[青 説] 線形写像の表現行列を考える場合. できるだけ簡単な基底を選んでお
くことが望ましい。 本間の基底 (1, *, z?。 99 は理想的なものである。 線形
写像げの階数 rank/ とは表現行列の階数と定義する。
 (1) 71)=6, 7()=0一2x・1十6・x三4,

7の=ニ2一2x・2x十6・y?王2x?十2, 7(xうー6x一2x・8z?十6・x*三6x より

0
6
びQ① 7の) 7の 7の0の)=dG * タタ     0
0

ららのつら

2
0
2
0
列4

コマ5キマ

したがって, の基底 (1, x, *%, 9 に関するの表現行

FPP〔答〕

6 0 2 0
0 4 0 6
4ー         合
0 0 2 0
0 0 0 0

6
[0
⑫ 4=| 。
0

ららょのら
つら ら
!

!

ら のら eleo ら

0
6
0
0

より, rankげ=rank4=テ3 ……(答)

(3) 同次連立 1 次方程式 4ェニ0 を解けばよい。
(②の計算より, 同次連立 1 次方程式は

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ァテ0        え   0     0
9      ? | | -3@ | | -3
ツイ人90 吉  に| 。 1 』  (2所忌)
々0        の   22    2
0
3
すなわち, Kerげ=ティ1  。  2略記 〔答)
2
(3) 像と核
像と cppaooeeeeeeecaaeoeeoccoooeoeoae    ee 88802RHHS8RSRS

げがから 叱への線形写像でもるとき
、        Imアテの=ザげ(⑦のlp 切て素
| を/の像といい
|   Kerアーー!(⑩)ニ (pど|の=0) と
| をの核という。

線形写像 核空間 多項式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

そもそもV自体がベクトル空間なの理解できますか？
多項式全体の集合を1 X X^2 X^3の４つの基底の貼るベクトル空間と見ています。
fはVからV、つまりベクトル空間からベクトル空間への線形空間写像だし、Kerfは右のVのゼロ元の逆像です。
ベクトル空間の要素だからベクトルで何の問題もありません。
つまり多項式をベクトル和と見ています。

マル

横から失礼します。
哲治さんの回答で正しいですが、捕捉しておきます。

自分も線形写像と行列の書き換えは、理屈ではわかっているつもりでもなかなか納得できませんでした。

抽象的に考えることが得意な方は問題なく理解できるのでしょうが😅

哲治

なるほど！とてもわかりやすいです！

なず

二人ともありがとうございます！

多項式の違うべき乗の項の係数をベクトルとみなして、多項式の空間をベクトル空間として扱えることはわかりますが、核空間が実際にベクトルのように書かれると変な気がして。まだこれからこういう表記の解答が出てくるかわからないですが、わたしの参考書の核空間の基底の問題は多項式で書いてるんです。このベクトルのような核空間は初めてあったのでちょっとおかしいなと思いました。

はい、わたしが期待してた解答は丸之助さんのような書き方ですね。想像した通りでよかったです。