Question

Saki

この問題を教えてください

/ ャニ1+?か方程式 <?上みみ十/ニ0 の解でもるとき, 和
2の値と他の解を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト

どうぞ〜

Saki

ありがとうございます

Answer 2

いきものがかりが好き

一応残しておきます
解と係数の関係を使った解放です
かく量　計算量ともにすくないのでオススメです

Answer 3

shobonvip

1. n次方程式は、複素数解がちょうどn個ある。（代数学の基本定理, 証明は難しい）
2. 実数係数のn次方程式が虚数解 a+bi を持つならば、その共役複素数 a-bi も解である。（簡単に証明できる）
という定理があります。

これは3次方程式なので、1.の定理より1+iの他に解が2個あるので2個答えればいいという見通しがつきます
2.の定理より, 1+iは解であるので1-iも解であることがわかります。
x³+ax+bはx=1+i, 1-iを持つから 因数定理より x³+ax+b は, (x-(1+i))(x-(1-i))=x²-2x+2 を因数に持つことがわかります
x³+ax+b を x²-2x+2で割ってみると、x³+ax+b = (x²-2x+2)(x+2) + (a+2)x+(b-4)
となるけど、x³+ax+b は, x²-2x+2 を因数に持つので余りは0になるので、 a+2=0 かつ b-4=0
すなわち a=-2, b=4となります。
このとき, x³-2x+4 = (x²-2x+2)(x+2)となり、(x²-2x+2)(x+2)=0⇔x²-2x+2=0 または x+2=0
であるので, x=-2も解であることがわかります。

よって, a=-2, b=4
他の解は, 1-i, -2

shobonvip

（訂正）他の解は、x=1-i, -2
ゲストさんは正しい説明です。ありがとうございます。

Saki

詳しく教えてくださりありがとうございます
説明を読んで解くことができました