数学
高校生
解決済み

回転体の積分の問題です。
緑の領域をy軸周りにできた回転体体積を求めます。

私の解は画像の右下の式ですが回答とあってません。回答の式(Disk円盤)も理にかなってるような気がしますが、私の式と符号が逆です。回答が間違ったのでしょうか。

よろしくお願いします。

i. The region below y = sin x and y = cos x buT above †he x-axis on [0, x/2]. integrate.) j. The region in +he preceding problem roTated abou †he y-axis. (Se up The inTegral only, but do no inTegrate.) Y2/ DO (74 - GrecesyY)みrm 『 (resny)- 24) gy r/4 72 Cylindrical Shell: 2z 」 xsinxdx+2rl xcosxdx x/4 ロロ 2 万 / (arccos^ ー arcsin^ y)@y 0
積分 回転体

回答

✨ ベストアンサー ✨

テキストが正解ですね。
arcの2乗の積分はわかりません。
しかし、そこまでならこんな感じです。

なず

回答ありがとうございます。

はい、テキストはそういう感じですね。ならもっと短縮して、②の一項目の大きい回転体-①の二項目の小さい回転体で計算しても同じような気がします。でも符号が逆で…。どこがダメでしょうか。

哲治

でもこの問題のやり方だと計算すごく難しいから、バウムクーヘン型積分で出した方がいいと思いますけどね。
やはりテキストだと逆三角関数の2乗が出てくるけど、バウムクーヘン型なら単なる普通の三角関数×Xの形だから計算楽ですからね。

哲治

というかその短縮したのがテキストですよね。

哲治

すいません。テキストの下の式がバウムクーヘン型の積分ですよね。笑

哲治

符号が逆になる計算過程を見せていただけますか?

なず

なんだかわからなくなってきました。今気づいたんですが、①の二項目はarcsinじゃなかったんですか?y=sinxの曲線なのに

なず

多分積分の方向を間違えたような気がします。

哲治

すいません。訂正します。そうですよね。
なずさんの方が正しいですね。僕のが間違ってますね。

哲治

ちなみにバウムクーヘン型はテキスト通りですね。

哲治

さっきの訂正します。

なず

なるほど、そうですね。バウムクーヘンはあってると思います。今積分を計算するツールで出た結果に近似値があるの気づいて、もう一度それで計算して照らしあわしてみたら合ってました。これで近似値の使いみちがわかりましたねー。

なず

ちなみにツールの結果はこちら

テキストの円盤の式、結果出なかったです
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+y%3D0+to+sqrt%282%29%2F2%2C+pi%28%28pi%2F4%29%5E2-arccos%5E2y%29%2Bpi%28arcsin%5E2x-%28pi%2F4%29%5E2%29+dy&lang=ja

私の式
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+y%3D0+to+sqrt%282%29%2F2%2C+pi%28arccos%5E2y-arcsin%5E2y%29+dy&lang=ja

円筒の1項目
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%3D0+to+pi%2F4%2C+2pi+xsinxdx&lang=ja

円筒の2項目
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%3Dpi%2F4+to+pi%2F2%2C+2pi+xcosxdx&lang=ja

哲治

たぶん一番目は我々が正解と思います。
しかし、計算できないから、数値はバウムクーヘン型で求めなさいという趣旨の問題と思います。
問題にも積分を書くだけで、計算しなくていいと書いてるので

哲治

逆三角関数の積分なんですけど、サインの方はネットで出てきましたけど、コサインの方はいくら探してもないんです。
コサインの方は積分不可能なんですか?
僕も逆三角関数の2乗積分はあまりよく知らなくて。(;゚ロ゚)

なず

実はただの練習問題です。どの方法でも使って式を作ってみるっていう。回転体の積分がややこしくてそれを見つけてやってみたんです。

なず

私も知らないですが、ツールに入れてみました。置換とsin cosの関係を使ってるようです。

哲治

ありがとうございます。
どちらも自分で計算して見ました。
こんな感じです。

哲治

ちなみにノーマルの逆三角関数の微分も上の解答の途中で使用しているのでアップします。

哲治

まあ結論としては、ただただバウムクーヘン型積分のありがたみが実感できたということですね!笑

なず

すごい!勉強になりました。

哲治

置換積分は難しいですね。僕もピンと来ません(;゚ロ゚)
僕は部分積分でやりました。
ネットでも置換積分を使ってやってたので、僕のが理論的に厳密にはどうなのか分からないけど、答えは一致するから、理学部数学科の大学院試でもないのだから、問題はないと思います!笑

哲治

マセマでもここまで頑張れた!笑

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