Question

リオ

シンプソンの公式の誤差に関するものです。

一つ目の矢印の部分のインテグラルの中にtが現れ、hが消えているところがわからないです。

二つ目の赤線に関しては5分の1が抜けているという印です。

よろしくお願いします。

結果の理由2 (シンプソンの公式の誤差評価)
定理 (センプソンの公式の誤差)
関数 Cc) は 4回微分可能で7⑨G) は連続とする. (つまり,

ナG) はC* 級とする.)
このとき,区間[z.妨における『⑨G)| の最大値を7,

ヵ=ニゆーの2とすると

2
/ 7GOxー の| = 攻記

9
が成り立つ.

(年明)
計 算 を 簡 単 に す る た め に 。
=(g寺の2.ち=あーの(=りーカーカーの とおく。
また
ae                      >
⑳=/ oe-計のce / oe-間の
とおいて.この隊数をチイラー展開を用いて評価する. そのた
めに、この関数徴分を計算する
ここで、
1
であることに注意する、以下で、証算が中人半端に見える部分
があるが.機的に計算できることと放算量が少なくなること
を意図している. まず一障の導数は
2⑩ =7w+の7mーがーキm+が(0+/m+が)
であり、役分係数は 0 =0 となる.2階の六開数は
のの (m+がーーのーミ(プ(mーのキア(mす|

3の=mーのキダの +7m が

ーす(7m-が+アm+) こき7mーが+プ(mg
であり.、往分係数は 〆(0) = 0 となる.3階の導関数は
のの "m+が+ア"0mーがーュ(7mーが+アm+)

ーま7"m が+アm+の) -す7mーが+プm+

由 ブツ ーめ+プ7m二が)

ミー (ブツ ーが+ア"m+が)
となり.やはり入分係数は "(0) = 0 となる.のちの不等式評価
で便利なようにげの 4 次の必関数のみが現れるように、<⑰の4
次の導関数を計算すると
0のニーュ(ブツーが+ア(m+の) を0(m-め+/G
間

是             か
ニーテ       7%0ーミ70(m が+が00m+が)

ば1

と書ける.
以上の結果. テイラー展開でヵ

 

とした場合

 

てはめると。

以上の結果、テイラー展開でヵ= 3とした場合にあてはめると.
のとeo

となる. 絶対値をとり.不等式を評価していくと
le⑩| < / eolw

であり、=mgxのの|とおくと、

IMゆ@| < 3 / " elみ- 人半の ーが+ア9+加

1 et

<ユエ

3な4
ー 49人
3

となるので、                 と
4 /
lc⑰| = / @ーのfg

となる.最後に積分を計算すると、

4      4    本
ーの7gニ   ーーの
7 2w=/{  ィ Jy
LOW-9の1 /7@-が
、    -[ = 4 Ia
-[
s4 1

っコ     っ]

ィ
となるので、.求めたかった不等式
ーー 44
Oda
を得ることができたn

み
みキー27
みすテ

 

 

 

 

4

 

さて.3 次関数は 4 階微分が 0 です. よって.シンプソンの公式
を 3 次関数に適用する と誤差は0 となり.厳密に面積を求め
る公式となるのです.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

きちんと計算を追ってないのですが、矢印の前にある
|e⁽⁴⁾(h)|≦4Mh/3
という式は h=(b-a)/2 という特別な値の時だけ成り立つ式ではなく、任意の h≧0 に対して成り立つくらいの一般的な不等式なのではないでしょうか
もしそうであるなら、tも0以上の範囲しか動かないので
|e⁽⁴⁾(t)|≦4Mt/3
が成り立つので論理がつながると思います。でもhの場合について示しておいた不等式を突然tに適用するのはあまりいい証明の書き方じゃないですね

リオ

ということは、aもb任意に取った値として考えることになりますか？

最終的に求めたいのはe⁴(h)なので、tを入れて成り立ったからと言ってその後につながらないように感じます。

しかしhのままだとして計算をしていくと、最後の積分の計算がずれてしまい、値が合わなくなってしまいます。

どうしたら良いのでしょうか？

gößt

そういうことになりますね

画像3枚目の上から4行目の不等式を利用したいので、最終的に求めたいのはe⁽⁴⁾(t)の方ではないかと思います

リオ

あ、ほんとですね。
それならわかりました、ありがとうございます。

hに関しては少し謎ですが、解決しました！

gößt

よかったです