Question

ひよこ

微分法の応用

方程式xe^-x=aの異なる実数解の個数を求めよ。

漸近線を求めるときに、lim x→-∞ f(x)が0になる理由を教えてください。

Answer 1

ゲスト

ロピタルの定理使うか微分して1<xの範囲で単調減少かつx、e^x>0で攻めるかn次導関数で攻める

ひよこ

二つ目の方法が理解できそうなんですがどうやって求められますから

ゲスト

あ

Answer 2

カス

高校範囲では説明できません。
そういうものだとうけいれるべきです。
感覚的にはxの増加速度よりも、a^x(a>1)のほうが増加速度が大きいからです。
当然。x/logxについても同様の議論です

ひよこ

この問題を解くときにグラフを書いて求めてるんですが、0になることがわからないと正しく書けなくないですか？どうやって書けばいいんですかね？

カス

問題文の注釈になにも書かれていませんか？
似たような問題を東工大でみたことありますけど、難関大ならそれくらい当然知識として持っている前提。ということもあります

ひよこ

これがその問題です。いまいち解き方がわからなくて、、

カス

(2)ですか？

ひよこ

そうです

カス

問われている内容と質問の内容が違うように見えますが…

ひよこ

個数求めるときに、グラフを書いてy=aがどの範囲にあるときに何個あるかを考えていたので、漸近線がわからないとグラフが書けないなあと思いました。

カス

？？？漸近線ありますっけ？確かないですよ。
単純にグラフ書いてy=aとの交点を調べるだけですよ

ひよこ

この丸で囲ってある部分が漸近線になるはずなんですけど、、ちがいますかね

カス

いやいや、y=0は交わってるから漸近線なり得ないでしょ。たしかにx<0では漸近線には成り得ますが、だから?って感じです。それは増減表書けばわかることなので…

ひよこ

あーじゃあ根本的に間違ってましたね^^;

増減表からどうやってわかりますか？

カス

あなたの元の質問ではプラスマイナス無限に飛ばしても0または無限大に飛ぶかは判別できませんが、この画像の問題ではマイナス無限大に飛ばせば0になりますしプラス無限大に飛ばせば∞にとびます
ですから増減表を書けばあなたの図のとおりに、減少から増加になり、x<0ではyは正にならないです。
ですからy=aとの交点を調べることにより、xの範囲に対応するaの個数がわかります

ひよこ

マイナス無限大な飛ばせば0になる理由はなんですか？

カス

先ほどと同じように収束速度の話からでもわかりますが、(これは証明なしに用いて良い)
t=-xと置換すれば0に飛ぶことがわかります

カス

置換するとx/a^x のような形になるので、結局0に飛びます(収束速度から)
厳密には挟み撃ちを用いたりしますが、そこまで厳密にやる必要は今はないです