置き換えの動機を聞いているわけですね. 最初に置換積分を疑うのは悪くないです.
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まずは分母の平方根内を微分してみます.
(22)(x+1)'=1[分子とは違うので無理] (23) (x^2+9)'=2x⇔(1/2)(x^2+9)'=x [分子と同じにできるのでOK]
なので(23)の方は置換積分を使う, と判断します. (22)は別のやり方をしなくてはいけませんね.
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(22)は(x+1)の関数とみる[から置き換える]と, 被積分関数は
x/√(x+1)=(x+1)/√(x+1)-1/√(x+1)[x+1を作って, 残りは引く発想]=(x+1)^(1/2)-(x+1)^(-1/2)
と変形できます.
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どれを使うかは経験によると思います. 教科書傍用問題集でたっぷり計算練習することですね.
慣れてくると上のように面倒な置き換えも必要としません.
ありがとうございます！
もっと数こなします
この形の一般的な処方箋としては
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(i)分子の次数が分母の次数より高いときは割ってf(x)/g(x)=a(x)+{b(x)/g(x)}の形にする.
(ii)b(x)がg(x)の次数より一つ低いときは置換積分を試みる. 微分というのは次数を一つ下げる演算だったことを思い出そう.
(iii)b(x)が定数で分母が√(ax^2+bx+c)の形の場合, 平方根内を平方完成して余接関数tanθに置き換える方法を考えてみる.
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この処方箋で効かない例としては部分分数分解を使う問題があります[他にもあるでしょう].