x,y,zのどれを変数とみなすかでだいぶ難易度が変わってきます。
xを変数とみなすと、当然xに関する二次式（とりうる範囲は0≤x≤4-y-z）となるわけですが、これを解くのは相当むずいです。
なぜなら二次方程式は、どちらに凸か、軸が範囲に含まれているか、などで最小値をとる場所がどんどん変化してしまうからです。
次にyでまとめると、(-2x+z+4)y+〜、という一次式になります。
一次式は二次に比べてだいぶシンプルで、傾きが正のときにはyが最も小さい時に、傾きが負のときにはyが最も大きい時に最小値となりますね。
つまり、傾き-2x+z+4の正負で場合分けをして、丁寧に解いてあげれば何とかできると思います。（それでも大学入試の中ではかなりハイレベルな問題となると思いますが）
最後にzでまとめると、(y+2)z+〜という一次式になります。
これは最も簡単で、y≧0から傾きが必ず正となるとわかります。
つまり、場合分けは全く必要なく、z＝0の時に最小となるとわかるのですね。
これでzが消えて2変数の問題となるので、今度はyを変数とみてまとめてみると、解けると思います。
今回だけに限った話ではなく、多変数の問題でどれか1つの文字に着目するときは、なるべく次数の少ないものを選ぶのが定石です。
zでまとめるとうまいこといくとすぐに判断できるのがベストですが、とりあえず二次式のxでまとめるとヤバいことになると意識しておくといいと思います！
