ちゃんとわかるには、高校1年生、少なくとも中学3年生くらいの知識は必要になってくるので、なるべくわかりやすく言いますが、わからないかもしれません。
当たり前のようなことかもしれませんが、物体は力を加え続ける限り加速し続けます。(この加速の割合のことを加速度といいます。飛行機に乗ったことがあればわかると思いますが、電車と飛行機ならば飛行機の方が一気に加速しますよね。すなわち、加速度が飛行機の方が大きいということです。)例えば、空気抵抗を考えなければ物体はずーっと重力を受け続けて加速します。このときの加速の割合を重力による加速度、重力加速度といいます
ここで、綱引きを思い出してください。綱引きというのは、2人が反対方向に引っ張りますよね。実際は2つのチームがそれぞれ2つの向きに力を加えているのですが、２つがのチームがある程度同じ強さならば見た目上、綱は動かないですよね。このとき、2つの力は釣り合っているといいます。右向き2N、左向き2Nなら、結局足しあわせたら0Nで加えてないのと同じですよね。このような足しあわせた見かけの力を合力といいます。
では、右向き3Nと左向き2Nならどうなりますか？合力は右向き1Nですね。
水中にある物体は水圧という力を受けます。詳しくは、高校1年生で習いますが、水圧は大気圧+液体の密度×深さ×重力加速度です。大気圧は地球上なら普通は受けるし、重力加速度は地球上であればだいたいどこも9.8くらいですし、だいたい液体は水なので、深さにだけ水圧は影響を受けると言っても過言ではないですね。写真を見てください。横の面がうける水圧は、深さが同じところならば同じ力とみなせます。これこそが「釣り合っている」状態です。横向きには力がはたらくものの、はたらいていないように見えます。よって、横方向の合力は0であり、力を加えていないときは物体は加速しないという話をしたと思いますが、横方向には動きません。
しかし、縦方向でみると、上の面と下の面は深さが違うので、下の方が大きな力を受けます。綱引きの逆、例えば相撲なんかを考えたらわかると思いますが、上から1N,下から3Nで押したら、合力は上向きに2Nですよね。これと同じように考えれば、物体は縦方向で見れば上向きに力を受けていることになります。この水圧の差こそが浮力の正体なんです。
(一回切ります)
ここから、少しだけ難しい話です。さっき話した水圧というのは、面1m^2あたりにうける力です。上からの水圧をP1、下からの水圧をP2とします。すなわち、1m^2でみれば上からP1(N)、下からP2(N)です。しかし、実際は1m^2とは限らず、Scm^2の上面と下面を有するとすれば、それぞれP1×SとP2×S(N)の力を受けることになります。
よって、浮力Fは、上からの力P1Sと下からの力P2Sの差なので
F=P2S-P1S
と表せます。
ここからは紙に書きますね。
水圧の公式がどうしてこうなるのかはまだわからないと思います。また、密度の文字もよくわからないと思います。πと同じくρ(ロー)というギリシャ文字です。でも、とりあえず公式にあてはめたら写真のようになりますよね。注意すべきは、P2の深さはdに箱の高さhを足したものだということです。
ここからは数学の計算なのでわからなければふーんでいいと思います。
計算すると
F=ρ×9.8×S×hになります。
Shは底面積×高さであり、すなわち物体の体積なので、Vとおくと
F=ρ×9.8×Vです。
この公式の意味を考えます。ここで、知っておく必要のある知識があって、それは重力の大きさは質量×重力加速度9.8であるということです。
これを踏まえれば面白いことがわかります。ρ水×Vというのは、水の密度と箱の体積のかけ算です。箱の体積は箱が押しのけた水の体積と等しいですよね。例えば、満タンのお風呂に人が入れば人の体積だけ水を押し退けてその分、水は溢れだします。
よって、ρVというのは、水の密度と水の体積のかけ算です。密度と体積をかけ算するとこれは何を表すかわかりますか？g/cm^3とcm^3のかけ算なので、gが残りますよね。水の質量です。すなわち、ρVは物体をいれたことで押し退けられた水の質量を意味します。
よって、浮力というのは、ρV×重力加速度9.8、押し退けられた水の質量×重力加速度なのでちょうど押し退けられた水にかかる重力の大きさであるということがわかりますね。これがアルキメデスの原理です。
ゴチャゴチャと難しいことを言いましたが、結果的にはそんなに難しくありません。満タンのお風呂に200kgのお相撲さんが入って200kgの水が押し退けられて溢れだせば、その体には200×重力加速度9.8の浮力がはたらくということです。