回答
すいません。
自分もせっかく解いたので載せてみます。
計算に自信がないので間違えていたら
教えてください。
そうですね。
凡ミスです。
ありがとうございます😊
答えが間違ってました。
質問者さん、後から貼り直した方を参考にしてください💡
見づらくてすみません🙇♂️
とりあえず帰納法を使わないやり方です。
2^でかけているところを見ると、出題者はこのように解いて欲しかったのでは？と思います。途中で気持ちよく綺麗な形におさまるので。
あ、多分見づらいし分かりにくいと思うので
どんどん質問してくださいね。👍
答えあってます！！
しかし、、、
理解ができない😢😢
ざっと見た感じ方針は立ちますよね。
まず、anの一般項を求めて、anの数列を視覚化したい。→anが分かれば、具体値を代入していけば、fnの関数がわかる。
しかし、fnを一般化するのは大変そう→問題のbnが誘導なのではないか？と考える。
bnは簡単に求まりそう。
→fnを一般化する
→(3)が求まる。
こんな感じです。これは、センターで出題されるレベルで流石に現段階でクリアしてないとヤバイのですが、どこがわからないのですか？
ちなみに、(1)(2)の誘導なしで、(3)を求めるのが上位の大学の二次試験では求められます。
Bnは簡単に求まりそうとありますが
どうやるんですか？
私がやるとすれば、具体的にいれていって、数学的帰納法で証明です。
b1=2^1×∫7tdt
=2*7*1/2*1/2
=7/2
b2,b3,b4,b5あたりまで求めれば、法則性がわかるので、予測されるbnの数列をかいて、数学的帰納法で証明すれば、OKですが。
具体的に書き出そうともしないで、質問する方がおかしいですよ。当日の試験では、こんな問題でないだろうし、初見問題でしょうから、具体的に書き出したりして、問題を噛み砕いて考えていく練習を日頃からしていないと、第一志望はおろか、どこも受かりませんよ。
うーん、
それはあまり良くない方法かと😅
はあ…。いずれにせよ、bnの初項がわからないといけないので、b1を求めるために具体値を求めるといけないです。私はbnは階差数列だと思うのですが、an求めた後にfnを求めて、bn=2^n*fnなので、fn=b^n/2^nをfn+1の与えられている式に代入して、両辺に2^(n+1)をかけてbn+1-bn=(nの式)を求めて、bn=b1+ Σ[k=1,n-1]{(bn+1-bnの部分)^k}で求まると思いますが。
私はこちらの方が煩わしい方法だと思うのですが…。
あなたの考えるよくない方法とは何ですか？御教授願います。
そうでしょうか、、
あなたが思う帰納法での求め方、時間がよろしければ紙に書いていただきたいのですが、、
帰納法です
帰納法は素晴らしい求め方だと思いますが。
私の数列ノートの4/15の後半部を参照ください。
帰納法が役立つのは、イコールで結ばれているときですよね？
私の問題だと一般項がわからない以上、kで表しようがなくないですか
イコールで結ばれていなくとも、数列が推測できて、一般項が書けてしまえば、その一般項が正しい限りどんな形であれ証明可能です。
一般項はb5くらいまで具体値を求めていけば、わかるはずですが。ちなみにテキトーに問題を探したら、このような問題がありました。
(問)数列{an}をan=∫[0→1]x^(n)*e^(x)dx (n=0,1,2,3...)で定める。
自然数nに対してan=bne+cnとなる整数bn,cnがあることを数学的帰納法を用いて証明せよ。
また、数列、推測、数学的帰納法 でググッてみれば、解説したサイトはいくつか見つかると思います。
私の問題で推測したらどうなりましたか？
表せましたか？
もう少しマシな教え方出来ないんですか？
言い方に悪意がありすぎます。まるで喧嘩を売っているようです。嫌な奴ですねあなた。モテなそうw
b1=7,b2=15,b3=25,b4=39,b5=61
階差をとると、cn
8,10,14,22で初項8公差2の等差数列なので、
cn=2n+6
これでbnを求めることができ、
bn=b1+Σ[k=1→n-1](2k+6)
=7+(n-1)n*1/2*2+6(n-1)
=7+n^2-n+6n-6
=n^2+5n+1
と推測されます。
表せますが？
不正解です、、、
cnのところが、2,4,8,なので、公比数列ですね…。
2,4,6でやっていました。失礼しました。
なので、cn=2^nとなり、
bn=7+Σ[1→n-1]2^k
=2^n+6n-1
ですね。
帰納法でないなら、
∫[0->1]fn(t)=bn/2^nなので、
bn+1/2^n+1=an+1x+1/2 *bn/2^n
両辺2^n+1をかけると、
bn+1=an+1x*2^n+1+bn
bn+1-bn=2^n*an+1
で、右辺がbnの階差数列であるので、これをcnとおいてcnを求めて、
bn=b1+Σ[k=1->n-1]ckに代入して、解が得られる。
an+1=6*(1/2)^(n)+1なので、
cn=12+2^(n)
つまり、
bn=7+Σ[k=1->n-1]6+2^(n)
=7+6(n-1)+n^2
計算すると上記と同じになりますね。
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an=6×(2分の1)^(n-1)+1だと思います。
じゃないと初項が7にならないので。