sin^3θ−cos^3θ
＝(sinθ−cosθ)^3＋3sinθcosθ(sinθ−cosθ)
ここで
sinθ＋cosθ＝√5/2より
両辺を2乗して
(sinθ＋cosθ)^2＝(√5/2)^2
sin^2θ＋2sinθcos＋cos^2θ＝5/4
sin^2θ＋cos^2θ＝1より
(sin^2θ＋cos^2θ)＋2sinθcosθ＝1＋1/4
よって
2sinθcosθ＝1/4
sinθcosθ＝1/8
また
(sinθ−cosθ)^2＝sin^2θ−2sinθcosθ＋cos^2θ
＝(sin^2θ＋cos^2θ)−2sinθcosθ
sin^2θ＋cos^2θ＝1, sinθcosθ＝1/8より
(sinθ−cosθ)^2＝1−2×1/8
＝3/4
sinθ−cosθ＝±√3/2
このことから
( ⅰ )sinθ−cosθ＝√3/2のとき
sin^3θ−cos^3θ
＝(sinθ−cosθ)^3＋3sinθcosθ(sinθ−cosθ)
＝(√3/2)^3＋3×1/8×√3/2
＝9√3/8＋3√3/16
＝(18√3＋3√3)/16
＝21√3/16
( ⅱ )sinθ−cosθ＝−√3/2のとき
sin^3θ−cos^3θ
＝(sinθ−cosθ)^3＋3sinθcosθ(sinθ−cosθ)
＝(−√3/2)^3＋3×1/8×(−√3/2)
＝−9√3/8−3√3/16
＝(−18√3−3√3)/16
＝−21√3/16
( ⅰ )のとき
sin^2θ−cos^2θ＞0なので
｜sin^2θ−cos^2θ｜＝21√3/16
( ⅱ )のとき
sin^2θ−cos^2θ＜0なので
｜sin^2θ−cos^2θ｜＝−(−21√3/16)
＝21√3/16
ゆえに
｜sin^2θ−cos^2θ｜＝21√3/16・・・(答)
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途中計算違ってましたがとても助かりました！！ありがとうございます！！