x＝1で極大値6をとる必要十分条件は
f(1)＝6かつf’(1)＝0かつx＝1で上に凸(f“(6)＞0)
で、
x＝2で極小値5をとる必要十分条件は
f(2)＝5かつf’(2)＝0かつx＝2で下に凸(f“(2)＜0)
です。
最初にf(1)＝6かつf’(1)＝0かつf(2)＝5かつf’(2)＝0の条件を満たすa,b,c,dを求めていて、それだけでは必要十分条件にはなっていないので、本当にx＝1で上に凸で、x＝2で下に凸か、一度増減表を書いて確認する必要があります。
それか、下のように書くと増減表はいりません。(2回微分を使う)
f(x)＝ax³+bx²+cx +d(a≠0)とおく。
f‘(x)＝3ax² +2bx +c
f(1)＝6、f‘(1)＝0、f(2)＝5、f’(2)＝0より
f(x)＝2x³–9x² +12x +1 (←計算は省略しました)
よってf”(x)＝12x –18であり、
f“(1)＝−6(＜0)、f”(2)＝4(＞0)より、たしかにx＝1で極大値、x＝2で極小値をとる。
よってf(x)＝2x³–9x² +12x +1
