(1)は収束の定義に従って、fが0において右連続であるという仮定を使って示します。積分の平均値の定理を使えば楽に示せるかなと思ったんですが、積分区間が動くので極限が考えられないですね。
(2)は、一様連続性とか使って|f(ax)-f(bx)|を評価するのかと思ったんですが分母のxが邪魔で、この方針は断念。(3)は明らかに(2)を使うので(2)は(1)を使うのだろうと踏んで、なんとか(1)の形に持っていきました。値を求めよと言われていますが、fが具体的に与えられてないので積分の形のまま答えるしかないでしょう。
(3)は(2)を使えば二つの積分(一つは広義積分)を求める問題に帰着されます。が、(2)を適用するためには問題の仮定を満たすことをちゃんと調べないといけません。調べたらあとは計算です。計算は委ねます。
もしよろしければ問題の出典を教えていただけないでしょうか？
これは九大数学科の院試過去問です。
なるほど、院試なんですね
ありがとうございますm(_ _)m
そうです。数学科の院試だからきちんとした議論が必要なのは重々承知しているのですが、自分の学科では解析学の時間にイプシロンデルタはやっていなかったのです。この問題はイプシロンデルタを知らないけれど微分積分は勉強した、といった人でも解けるものなのでしょうか。
解けないと思います。εδ論法によってやっと収束が定式化されるので、「なんだかよくわからないもの」の収束などはεδでないとわかりません。高校数学で示せない極限の代表として、a_n→αのとき、(a_1+a_2+...+a_n)/nの極限などがあります。
なるほど…ありがとうございます。
続きです。