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右側のインテグラルは公式通りなので大丈夫だと思います。
左側について
(tanx)'とはd/dx(tanx)なので
∫tan^2x*d/dx(tanx)dxとなります。
ここでdxは分母分子にあるため積分が行われずtan^2x*tanxとなります
この∫f'(x)dx=f(x)は微分積分学の基本公式として紹介されているかもしれません
また便宜上、分母分子と表現しましたがdy/dxを分数のように扱うことを嫌う方もいるため注意してください
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