✨ ベストアンサー ✨
この問題をε-Nで解くことはあんまりない気がしますが⋯
よくある「Cauchy列だから収束して極限値をαと置くと…」というタイプの解法は理解した上での質問ということですかね
(解)
まず、帰納的に
a[n]>0 for ∀n∈ℕ
が成り立つ
また、√2=1+1/(√2+1) であるから
a[n+1]-√2＝{1+1/(a[n]+1)}-{1+1/(√2+1)}
＝-(a[n]-√2)/(√2+1)(a[n]+1)
∴|a[n+1]-√2|＝|a[n]-√2| / |√2+1||a[n]+1|
≦|a[n]-√2| / 2•1
＝(1/2)|a[n]-√2|
これが任意の n∈ℕ で成り立つから
|a[n]-√2|≦(1/2)ⁿ¯¹|a[1]-√2|
＝(1/2)ⁿ•2(√2-1)
任意の ε>0 に対してアルキメデスの原理より
N>2(√2-1)/ε
を満たす N∈ℕ が存在する
このとき自然数nについて、n≧N ならば
|a[n]-√2|≦(1/2)ⁿ•2(√2-1)
≦(1/n)•2(√2-1)
≦(1/N)•2(√2-1)
<ε
よって、
lim[n→∞]a[n]=√2
極限値を置くという方法は知っていたのですが、証明せよという問題だったので、それでは不十分な気がして質問しました。
とても分かりやすいです。
ありがとうございます。