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(1)二つの曲線の方程式からyを消去すると
x²+(mx+n)²/4=1
(m²+4)x²+2mnx+(n²-4)=0…①
二つの曲線が接するための必要十分条件は①が重解をもつことだから、判別式をDとして
D/4=(mn)²-(m²+4)(n²-4)=0
∴m²-n²+4=0
(2)ややこしいのでところどころ米印で注意書きを入れます
(i)楕円の直交する二つの接線がともにy軸に平行でないとき
二つの接線の交点をP(s,t)とする。点Pを通り傾きmの直線は(※y軸に平行でないため傾きmと置けます)
y-t=m(x-s)
y=mx+(t-ms)
これが楕円 x²+y²/4=1 に接しているとき、(1)より
m²-(t-ms)²+4=0
(1-s²)m²+2stm+(4-t²)=0…②
(※これはmの方程式と捉えます。例えば解がm=1,2ならば傾き1,2の直線が点Pを通る接線になります)
②が相異なる２つの実数解をもつ必要があるため
1-s²≠0 かつ (st)²-(1-s²)(4-t²)>0
s≠±1 かつ 4s²+t²>4
s≠±1 かつ s²+t²/4>1…③
このとき、②の二解をm₁, m₂とすると、解と係数の関係より
m₁+m₂=-2st/(1-s²), m₁m₂=(4-t²)/(1-s²)
楕円の２つの接線は直交するので
m₁m₂=-1
∴(4-t²)/(1-s²)=-1
4-t²=-(1-s²)
s²+t²=5
(※(s,t)の条件式が得られ、点Pはこの式を満たすように動かなければならないことが分かります)
よって③に注意すると、点Pの軌跡は
円 x²+y²=5 (ただし4点(1,±4), (-1,±4)を除く)
(ii)楕円に直交する二直線のうち一方がy軸に平行なとき
２つの直線は
x=1 と y=±4 または x=-1 と y=±4
であり、これらの交点は
(1,±4), (-1,±4)
以上(i)(ii)より、楕円 x²+y²/4=1 の直交する二接線の交点の軌跡は
円 x²+y²=5
ありがとうございます