ド・モルガンの法則は実質的には命題に関する定理からきていまして、命題に関するド・モルガンの法則というものもあります("AかつB"の否定は、"AでないまたはBでない" というもの)
高校のうちでは集合と命題についてあまり踏み込まないため、きちんとした説明がしにくいところではあります。詳しいことに言及すれば命題と対偶の真偽が一致することにも関係してくるのですが、高校生の段階では具体的な関連性を見出そうとする必要はないと思います
どう腑に落ちないのでしょう？
なぜこの定理が成り立つのかです
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ド・モルガンの法則の理解の仕方としては、まず命題の形である「"AかつB"の否定 は "AでないまたはBでない"」であることを理解するのがいいのかなーと思います。命題は論理の話になってくるので、具体例など考えながら日常感覚で捉えるといいでしょう。命題の形でド・モルガンの法則が理解できれば集合の場合でもさほど不思議には思わないはずです
なんか腑に落ちなくて汗