✨ ベストアンサー ✨
①
極論を言えば差をとることは数学で大小の比較するときによくやる(ついでに言えば差を取らない時の方が珍しい)手法だからです。
(微分法、数列、不等式の証明なんかで特に。今回も確率っぽい形してますが背景にあるのは関数の極大点の話です)
当たり前故にあまり意識していませんかも知れませんが、a>bならばa-b>0です。(a>bはa-b>0であるための必要十分条件)
ということはa-bの符号が分かったとき、aとbの大小は決まります。このことを用います。
できるだけ厳密に議論します(余計分かりにくかったらすいません)
(i)
Pnがn=m(1つとは限らない)で最大値をとる時どのようなことが言えるか？と言うと任意の自然数s(≠m)を選んできても
Ps<Pm
が常に成立します。(∵Pmが最大値だから)
2変数の議論なんてとてもじゃないがやってられないのでn=mで最大値を取ることに注目すると
sは任意ゆえ、どの自然数を選んできても成立しますが、s=m-1とするとm-1<mであるからPnが単調増加数列（数列｛an｝a1<a2<a3....のようになる数列のこと)である可能性があるのでこの可能性の考察を回避するためにs=m+1として
Pm+1<Pm
このことから
Pn>Pn+1となる自然数nが存在することはnがある自然数mで最大値を取るための必要十分条件。
(nが存在しない時はPnは単調増加数列となり最大値は範囲(1≦n≦10のように)を指定しないと存在しない)
両辺をPnで引いて
0>Pn+1-Pn
Pn+1-Pn<0
(ii)
逆にPnがn=mで最大でない時どのようなことが言えるでしょうか？
結論はある自然数tを用いて
Pnがn=mで最大値を取らない
⇔
Pm<Ptとなる自然数tが少なくとも1つ存在する。
最大値はn=t'でとるとすると
Pm<Pt≦Pt'となるtが少なくとも1つ存在する。(t'はmでないことだけ確かであってtとの不等号は不明なので≦にする。)
今度は単調減少数列の考察を回避するためt=m+1とすると
Pm<Pm+1≦Pt'
この不等式の左側だけとりだして
Pm+1>Pm
よって
Pn<Pn+1となるnが存在することはnがある自然数mで最大値を取らないためのための必要十分条件。
(同様にnが存在しないときPnは単調減少数列となり、どのような数列でも単調減少数列であるならばn=1のとき最大と決まっている。)
(i)(ii)をまとめて
・Pn+1-Pn<0となるnが存在する
・Pn+1-Pn>0となるnが存在する
ことはnがある自然数mで最大値をとる/とらないための必要十分条件。
必要十分条件であるから
Pn+1-Pnの符号が分かれば最大値をとるnが存在するかどうかという議論に持ち込めるのでとても重要なのです。
だからPn+1-Pnというのが出てきました。
②n=n+1としただけです。
左辺のn=変数
右辺のn=定数であることに注意してください
機械的にやるのであれば
n=mのときはできるとおもいます。n=mをやってみて下さい。
では、m=n+1を代入してみてください。
誤字とかどこかミスってたらすいません
すごく丁寧にありがとうございます!!チャートの解説よりわかりやすいです😭😭
助かりました!!
3箇所ほど訂正
単調増加数列について｛an｝の＝が抜けてました。すいません
議論したのは
ある範囲内でおいての話です。
この範囲内でPn>Pn+1となるnが存在するとき最大値〜などの議論をしてます。
(i)(ii)をまとめて
・〜〜が存在する
・〜〜が存在する
〜〜必要十分条件
と書いていますが
・Pn+1-Pn<0の''とき''
・Pn+1-Pn>0の''とき''
最大値が存在とる/とらない
の方が適切かもしれません。