⑶で写真の丸をつけている部分、このrはなんなのでしょうか？そして繋がる1より小さいとかいう不等式も分かりません。 rnは繰り返し解く式の置き換えだなってわかるのですが、、、教えて頂けるとありがたいです。

⑶で写真の丸をつけている部分、このrはなんなのでしょうか？そして繋がる1より

✨ ベストアンサー ✨

7年以上前

まず知っておきたいこととして、今回の問題のように一般項を求めるのが困難な漸化式が与えられたとき、
1. 定数α, 0<k<1が問題より与えられて
|a[n+1]-α|≦k|a[n]-α|
を証明する設問が与えられる
2. その不等式を用いることで
lim[n→∞]a[n]=α
を示す
というパターンで解かせることがよくあります。今回の問題は少し応用がありますがおおよそ上のパターンに準じています

模範解答にあるように r[n]=(1/2)(a[n]+c) とおきますね
この問題では、(2)で
a[n+1]-c=r[n](a[n]-c)
を示したので、これより
|a[n+1]-c|=r[n]|a[n]-c|
が分かるため k=r[n] と見て議論を進めたいところですが、このkは定数でなければなりません。よってnを含む式ではまずいのです。

そこで、0<r<1を満たす定数rで
r[n]≦r (n=1,2,3,⋯)
となるものをうまく取ってこれれば
|a[n+1]-c|=r[n]|a[n]-c|
≦r|a[n]-c|
となって議論を進めることができるわけです

これで疑問点は解決したでしょうか？

gößt 7年以上前

混乱を招くので、ここから先は元々の疑問が解決してから読んでください。上の回答を読んでもよく分からなければ先に質問してください

私が見るに、この模範解答は不適切です。私が採点者だったら(3)は0点にしてもいいくらいです。というのも、「0≦r[n]<r<1をみたす定数rが存在する」という部分は明らかではないからです。

この解答の書き方から考えると、解答を書いた人は
0≦r[n]<1 が分かった
→ r[n]と1の間にある定数rを一つとってくれば 0≦r[n]<r<1 が成り立つ
という発想だったように思えます

しかしながら、これは間違いです。ここでの定数rは
全てのnについて r[n]<r<1⋯(#)
を満たすように取らなければいけません(あとで繰り返し使うためです)
一方で、上のやり方で取ったrは
ある特定のnについて r[n]<r<1
が成り立っているだけです。結局nに依存してしまっているのです。これでは意味がありません

いま欲しいのは(#)を満たすようなrですが、このrの存在は「存在する」と書くだけで許されるものではないと思います。この模範解答の書き方では論理的に不十分です

なので、模範解答の中の「0≦r[n]<r<1をみたす定数rが存在する」という部分は一旦忘れて、自分で具体的にrを与えた方がいいです。ごちゃごちゃと書きましたが、結局欲しいのは
(1/2)(a[n]+c)≦r<1
を満たすような定数rです。a[n]やcの範囲を考えてみれば自ずと答えは見えてくると思います

ゲスト 7年以上前

回答ありがとうございますm(__)m
先の質問で、kは定数でないといけないというのは何故ですか？最初のパターンの説明1の不等式を繰り返し解くことができないからですか？
それと、条件を満たす定数rを上手く取ってくるとありますが、定数rは必ず存在するものなのですか？

ご丁寧に説明して下さっているのにさらに質問して申し訳ありません…

gößt 7年以上前

最初の質問についてはお考えの通りです
|a[n]-α|≦k|a[n-1]-α|
≦k•k|a[n-2]-α|
≦⋯
と式変形をしていく中で
|a[n]-α|≦k|a[n-1]-α|
|a[n-1]-α|≦k|a[n-2]-α|
:
|a[2]-α|≦k|a[1]-α|
という式を使うので、これが全部成り立っていなけらばならないです。また、kの値がnによって変わってしまうとそのあとに等比数列の極限に持ち込むことができません

２つ目の質問について。これは、存在するとは限らないです。
もしも、r[n]が
r[n]=n/(n+1)
とかだったら 0≦r[n]<1(n=1,2,3,⋯) なのに
r[n]<r (n=1,2,3,⋯)
を満たすrをとることはできないです
今回の問題に限っては、うまくrを取ることができます