Question

なごみ

(2)についてで、手書きの解答で方針は合っているか見て欲しいです！(答えは合っていたのですが、解説と違ったので気になってしまいました。)よろしくお願いしますm(_ _)m

279.
座標平面上において, 点A(0, 1) を中心とし原点Oを通る円 について,点B
(0, -1) から引いた2本の接線の接点を P, Q とする。ただし、点Pの x 座標は正とす
る。さらに,y軸に関して対称な放物線 C2 が直線 BP と直線BQにそれぞれ点Pと点
で接するものとする。
1 2点 P. Qの座標を求めよ。
(2) 放物線 C2 を表す方程式を求めよ。
(3)点Aから放物線 C2 上の各点までの距離は1以上であることを示せ。
(4)円の原点Oを含む弧PQ と放物線 C2 で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(m, n)
左
[11 宮崎大・工]

0279 〈放物線と円で囲まれた部分の面積〉
(2) C2はy軸に関して対称であるから, C2 の方程式は
y=ax2+b とおける。 点PにおけるC2 の接線の傾きが直線
BP の傾きに一致することと, C2が点Pを通ることから,α,
bを求める
(4) 線分 PQ と放物線 C2 で囲まれた部分の面積をS とすると,
求める面積Sは S=So+△APQ (扇形 APQ)
y=mx-1
① (mは実数) とおく。
円の方程式は
x2+(y-1)²=1
(1) 直角三角形 PAB において,
C2
2
AB: AP=2:1
C₁
◆∠APB が直角。
であるから ∠PAB=
1A
-1
'P
また
OA=AP=1
O
よって, OAPは1辺の長さが1の
x
正三角形である。
∠PAO= ∠PAB=
ゆえに
OP=1
線分 OP と x軸の正の向きとのなす角は
π
π
=
2
3 6
ゆえにP(cos, sin
すなわ
2
点Qは、点Pとy軸に関して対称な点であるから(-1/23 1/2)
別解 点 B(0, -1) から引いた円 C の接線の方程式を
町
C2
C₁
したがって、求める方程式は
12.
y=x-1
上の任意の点(t, 1/2) (tは実数)に対して
=t.
Q'
P
= (1-0)²+(( r² − 1 ) − 1)² = 1 − 2 1 + 25 −(1-3)+121
16
AT 0 であるから
AT≧1
B
(4)(3)より,円Cと放物線 C2 の位置
関係は右の図のようになり,求める面
積Sは、 右の図の赤く塗った部分の面
積である。 線分 PQ と放物線 2 で囲
まれた部分の面積をS とすると
よって、点Aから放物線 C2 上の各点までの距離は1以上である。
C2 ya
2
C₁₁
2
31A
Q
P
0
x
13 2
-1XB
...... ②
①② に代入して整理すると (m²+1)x²-4mx+3= 0
...... ③
③ の判別式をDとすると
これを解くと
m=±√3
2m
このとき,③の解は, それぞれx=
m²+1
√3
2
=± (複号同順)
また,①から,いずれの場合も
1
y=
2
√3
D=(-2m)-(m²+1).3=m²-3
xについての2次方程式 ③ が重解をもつから, D=0 より
m²-3=0
⇔ ③が重解をもつ
⇔D=0
(
1
So=
S. - √ √ √ ² - (x² - 1½ )) dx
x2-
3
2
2
/3
13
2
2
=(x+x
dx
√3
2
また,∠PAQ= 12/23πであるから,APQの面積は
1/2・12・sin 1/3 3
九=
4
原点Oを含む扇形 APQ の面積は 1/12.12.12/3x=1737
したがって, 求める面積Sは
直線①と② が接する
S=So+△APQ-扇形 APQ)
=
点Pのx座標は正であるから (1/2)(1/2)
(2) 放物線 C2 は y軸に関して対称であるから,その方程式は
y=ax2+b...... ④ (a, b は実数) とおける。
④から y'=2ax
放物線 C2 が直線BP と点Pにおいて接するから, 傾きについて
1
√3
2
(-1)
2a・
=
2
√3
よって
a=1
-0
2
放物線 C2は点P を通るから 1/21=1(6)+
256
数学重要問題集 (理系)
◆(点PにおけるC2 の接線の
√3
傾き) = 2α.1
2'
(直線BPの傾き)
1
2
-(-1)
+6 ゆえに b=-
1
√3
0
4
2
接線の方程式を y=mx+n, 2つの接点のx座標をそれぞれs,t とすると
x-2x+x²-2x+2-(mx+n)=(x-s)(x-t) と表せる。
参考 求める面積は, t>s のとき
直線 l の方程式を y=mx+n とする。
S(x-3)(x-1)dx
曲線Cと直線 l が x = s, x=t (s≠t) の点で接するとすると、次の
xの恒等式が成り立つ。
x-2x+x2-2x+2-(mx+n)=(x-s)2(x-1)2
(左辺)=x^2x3+x²-(m+2)x-n+2
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2
=x^+(s+t)x2+s2t2-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2
=x^-2(s+t)x3+{(s+t)2+2st}x2-2(s+t)stx+s°12
であるから、両辺の係数を比較して
-2=
+2+2st
...... ②,
(理系)
280 4次関数のグラフとそのグラフと2点で接する直線で囲まれた部分の面
√3
√3
33π
π
=
+
2
4
3
4
3

-1
C2
点(黒)
C2は点Pを通るので
C2の方
方程式をy=ax²+b とお co
2
3
a.
+b.
4
-
①
I
とできる。
また、方物線と直線は接するので、
2つの方程式を連立させて
y=
y = ²² (y + 1)² +h.
(y+1)+b.
これに①を代入して
y=(y+1+1/2-a
0
=
//y2+(jal)+/-1/2a.-③
ここでyは重解を持つことより、③の判別式をD
とおいて、
2
D=13a-1-4.3(1/2-1/2a)=0.
• ¥a+- +a+1 - ³° + & a²
a2-2a+1
2
(a- 1)² = 0.
3
=0
a=112=11①より)
y=x²-1/
以上より

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

素晴らしい👍　良いと思います。
ひとつだけ、、、
「放物線C₂と直線ℓ₁は接するから」は、
「yは重解を持つ」の直前に持ってきた方が良いでしょう。
接する→重解を持つ、だから。

なごみ

わかりました！細かく見て頂きありがとうございました！