Question

Keisuke Honda

(1)の解答で、(m,nは土1以外の公約数をもたない整数，m＞0)とありますが、m>0となってるのは何故ですか？

14. (1) a,b,cを整数とする. xに関する3次方程式+ax²+bx+c=0
が有理数の解をもつならば,その解は整数であることを示せ.ただし,
正の有理数は1以外の公約数をもたない2つの自然数m, nを用いて n
m
と表せることを用いよ.
(2) 方程式 '+2x2+2=0 は, 有理数の解をもたないことを背理法を用い
て示せ.
(神戸大)

24 整数係数の方程式の有理数解
「解法のポイント
整数a, b, c について,
abcで割り切れ, a とcが互いに素⇒ b がcで割り切れる.
【解答】
(1)
が有理数の解
x+ax²+bx+c=0
x=
m
n (m, nは±1以外の公約数をもたない整数,m>0)
をもつとすると,
(7)+
2
n
+a
+b+c=0
m
m
n³
3
m
...①
=-an-bmn-cm2.
この式の右辺は整数であるから, 左辺も整数で,m, n は±1以外の公約
数をもたないことから, m=1.
よって、 ①の有理数解 x は整数である.
(2) 方程式
x3+2x2+2=0
②
が有理数の解をもつとすると, (1) よりは整数で,

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

分母m>0としないと、有理数x、たとえば3は
　3/1 ←n=3, m=1
もしくは
　(-3)/(-1) ←n=-3,m=-1
の2通りに表せます

それでも構わないのですが、m>0に限定すれば
有理数xを表すm,nはただ1通りに決まって話がしやすくなります

ここではm>0としなくても、
致命的なことにはならないと思います

Keisuke Honda

回答ありがとうございます
()のところを(m,nは互いに素な整数)と書いても大丈夫ですか？

和

「m,nは±1以外の公約数をもたない整数」
を「m,nは互いに素な整数」とするのは
問題ないかと思います