Question

花の一年後

整数問題です。(1)は解けたんですけど(2)が何から手をつければいいかわかりません
ヒントがあれば教えてほしいです

kを自然数とする。 方程式
√m-5 + √man - | √mn = 0
t
=0
を満たす自然数の組 (mon)を自然数解と呼ぶ。以下の問いに答えよ
(1)自然数解(m,n)が存在するならば、2k≦nc4kであることを示せ
(am - In a√main) = (tamm) ^
2m + 2√ √m² - n = mn
2m+2.
2m-n
2√m²-n = mn - 2m
064
①
①において左迎え。より右辺。よって炭-2mz0
moよりna2k ②
②のとき、①の両辺二乗して整理するとn=4k<4k.
②、③より2kzn<4kとなり示された
(2)それぞれのkに対して、自然数解が少なくとも1つ存在し、その個数は、「kより
小さいことを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

(1)の途中でn = 4k² - 4k⁴/m²が出てきています。移項すると 4k⁴/m² = 4k² - nです。
明らかに右辺は整数です。よって 4k⁴/m²も整数です。4k⁴/m² = (2k/m)²であり、
「有理数の2乗が整数なら、もとの有理数も整数」
が成り立つので2k/mと整数となります。
d = 2k/mすると、
m = 2k/d
n = 4k² - d²
となります。これがヒントです。

要するに自然数解が、dを用いてm,nを表せるということです。dがどのような範囲に存在するか分かれば示せます。

さらにヒントが必要でしたら仰ってください。

花の一年後

dの個数は出せたんですけど、m,nがdとkの両方で表されているのにdだけ考えて個数を出す部分がいまいちしっくりきません

希

kはそれぞれの場合で固定されています。なのでkは定数扱いでよく、dの個数のみに依存します。

希

dのおき方を少しミスしていたので、書き直したものを再度載せておきます。

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(1)の途中でn = 4k² - 4k⁴/m²が出てきています。移項すると 4k⁴/m² = 4k² - nです。
明らかに右辺は整数です。よって 4k⁴/m²も整数です。4k⁴/m² = (2k²/m)²であり、
「有理数の2乗が整数なら、もとの有理数も整数」
が成り立つので2k²/mと整数となります。
d = 2k²/mすると、
m = 2k²/d
n = 4k² - d²
となります。
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