Question

こももん

複素数平面です

どうして2kπ足すんですか？？

106 方程式 z" =αの解
00000
基本105 重要 108
方程式 z=-8 +8√3 i を解け。
は
習 133、
指針
方針は前ページの基本例題 105 とまったく同様である。
解を z=r(coso+isin0) [r>0] とすると
z=r(cos40+isin 40 )
387
き上
また、8+83iを極形式で表し、両者の絶対値と偏角を比較する。
ので
CHART αの乗根は絶対値と偏角を比べる
-
解をz=r(cosO+isin0) [r>0] とすると
z=r* (cos40+isin40)
-8+8√3i=16 (cos/3z+isin1/2/3)
20
ドモアブルの定理。
-8+8√3i
-16(cos +isin) -16(-1)
3
解答
また
ゆえに
*(cos 40+isin40)=16( 2
両辺の絶対値と偏角を比較すると
定理。
2
す。
|極形式で
>0であるから
r=2
また
π
0 = + k
π
6 2
よって
6
k
6
24=16, 40= 133 +2kkは整数)
+2km を忘れないように。
<r”=a(a>0) の正の解
は
r="a
3章
2 ド・モアブルの定理
+z+1)
数分解を利
もできる。
数平面上に
■立円に内接
頂点となっ
k=2が
■の参考事項
)は買いに
k
z=2/cos(+)+isin(+)
0≦<2mの範囲で考えると
k=0, 1, 2, 3
①
①で0,1,2,3としたときのzを,それぞれ20,21,≠)
22, 23 とすると
π
20=2(cos +isin)=√3+i,
6
を代入
6
z=2(cos/1/3rtisin/32x)=-1+√3i,
1722=2
7.
22-2 (cos 7/7+isin 77)=-√3-i
6
5
COS-
6
5
π
21-2(cos 37+isin 37)-1-√3i+
-2
+
2 (C)
20
2
22
23
21
したがって、 求める解は
T
20
3.
1x
z=± (√3+i), ± (1-√3i)
らの
(c)
25
2x
解の図形的な意味
解を表す 4点 20, 21, 22, 23 は, 複素数平面上で, 原点 0 を中心とする半径2の円に内接
する正方形の頂点である。 また、 解Zkにおいて, k = 0, 1, 2, 3 以外の任意の整数に対
して、ZkはZo, Z1, 22, 23 のいずれかと一致する。
[(1) 東北学院大 ]
p.393 EX 73
(1)22-81
次の方程式を解け。
(2) z=-2-2√3i

複素数平面 ド・モアブルの定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

2kπは、2π(つまり1周)のk周分です

(2/3)π回した点と、
(2/3)πともう1周(つまり(2/3)π+2π)回した点は
同じ位置に来るので、そのcosやsinは一致します

つまり、(2/3)π回した点だけではなく、
±何周かを加えたものも答えなくてはなりません

こももん

ありがとうございます！！
追加で、どうして０≦θ<２πの範囲で考えるんですか？

和

最終的に答えるものは①です
つまり角そのものではなく
cosやsinの値に関心があります

角そのものであれば無数にありますが、
そのcosやsinは高々何種類かしかありません
たとえばπ/6のときと(13/6)πのときは
同じcos,sinの値になり、同じzになります

よって、1周分だけ（つまり0〜2πだけ）
考えれば十分です