Question

ライチ

白チャート数IIIの例題52の問題です。
Q1〜Q3の疑問に対しての私の考察が合っているのか確認して欲しいです〜
画像及び文が長くなってしまい申し訳ないです〜🙏

例題 52
aは0でない定数とする。このとき、関数f(x)=lim
2n+1
x + (a-1)x-1
n78 x2n-ax-1
がX≧Oにおいて連続になるように,aの値を定めよ
(解)
X>1のとき
lim_
1780x7
0 lim
=0なので
Qi
f(x)=lim
x+!
xn
a-l
x2n
こ
n>∞
a
Q1
xn
x2n
x=1のとき =
Q1
10≦x<1のとき limx
antl
→80
11700
f(1) = lim 12n+1+(a-1)・1_1
118 12n-a-1-1
=0,
a
lim x2n=0,limxn=0
n→ 80
x+0-0
1-0-0
1-a
=x
0+0-1
0-0-1
:. f(x)=
よって、f(x)は0≦x<1,1ㄑXにおいて、それぞれ連続
である。
Q2
ここで
lim f(x)= lim 11 limf(x)= limx=1
/
X→1-0
x→1-0
x→1+0
x+170
f(x)がx=1においても連続であるための条件は
lim f(x) = lim f(x)=f(1) ←Q3
X→1-0
x→1+0
11
=
l-a
これを解いてa=
2
a
#

Q: この条件は
例えばx>1のときx=2を例とするとlim27:00
N78
より lim
778027
10(n+2に置き換えたときも同様)
n
のように「等比数列rn(公比をrとする)
の収束条件」が根拠?(公比をr→xにして)
0≦x<1のときはx=/1/3を例とすると
2
[im1123+1=0のような感じで
874
Q2:なぜそれぞれの範囲でf(x)(x=1のときはf(1)
を求めると連続であるといえるのか?
自己考察
連続の定義
無視してもらって
4結構です...
「関数f(x)において、その定義域内の
xの値に対して
極限値limtx)が存在し、かつ
つまりそれぞれの
範囲での
f(x)の「種類」
(定数関数か
三角関数か
多項式関数か)
で連続であるか
がいえる?
xd
limf(x)=f(a)
xa
が成り立つとき、f(x)はx=aで連続である。
x>1のときf(x)=x(←これは多項式関数
なので連続)
1-9
x=1のとき(=12(←このaの値を求めたい)
0≦x<1のときf(x)=1(=定数関数より連続)

Q3: ay
x>1のときf(x)=x
x
0≦x<1のとき
f(x)=1
x71,x=1,0≦x<1のとき
af(x)のグラフをxy平面
上に図示してみて、
X=1においてのf(x)の
左側極限limf(x)と
x→10
右側極限limf(x)が
x→1+0
等しいかつこれらが
f(x)のx=1でのY座標
つまり場合分けした
後x>1のときと
0≦x<1のときのf(x)
のグラフを書いてみて
判断しろということ?
(f(1)=は一旦放置で)
a
1-9
f(1)=
に等しかったら
a
f(x)はx=1で連続なので
f(x)はXOで連続となる?

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

その通りです

ただ、Q3.グラフは描かなくても式の上でわかることです
左極限も右極限も1なので、関数の値も1であることが求める条件です

ライチ

なるほど！確かにそうですね！ご教示いただきありがとうございました！