数学
高校生
解決済み

なぜ①からこの式ができるのでしょうか、

15 難易度 SELECT 目標解答時間 9分 90 右の図の △ABCは,AB = AC, ∠A= 36°の二等辺三角形である。 BC このとき、辺の長さの比 BC AB, すなわち1: AB ∠ABCの二等分線と辺 ACの交点をDとし,△ABCと△BCD を考える NA 36°直 を黄金比という。 図形と計量 図形と計量 AB ことで, BC ア とわかる。 ア |の解答群 D BD AB BD O AD © BC ② CD B' C AB これより、 BC を求めると AB ウ BC I である。 次に,点D から辺ABに垂線を引き, 交点をHとすると, cos36° オ |の解答群 オ と表される。 AD AH AH AH DHO DH AD AD DH AH AD DH よって カ + √ キ cos 36°= ク 人のほと である。 さらに ケ sin 54°= コ +v サ 動画で GRA 0 である。 また シス +√ sin 18°= ソ である。 (配点 10 ) ●公式・解法集 19 21 29- 口
3 図形と計量 15 三角比の定義 右の図の△ABC は, AB=AC, ∠A=36°の二等辺三角形である。 AB BC を黄金比という。 このとき、辺の長さの比 BC: AB, すなわち 1: ABCの二等分線と辺ACの交点をDとし,△ABCと△BCD を考える ことで、 AB BC アとわかる。 の解答群 BD AD BC ② AB CD これより、 を求めると BC AB. [ゥ] BC I である。 /36° 次に,点D から辺 ABに垂線を引き、 交点をHとすると, cos.36°= オの解答群 と表される。 © AD ① AH AD ② AH DH DH DH AD ③ ④ AH AD DH よって cos 36= である。 さらに sin54= である。 また ■シス セ sin 18°= である。 解答 △ABC は, AB AC, ∠A=36°の二等辺三角形であるから 180°-36° ∠ABC = ∠ACB = =72° 2 線分 BD は ∠ABCの二等分線であるから ∠ABD= ∠CBD = 72° =36° 2 ABCDの内角の和を考えて D STEP こう解く! 相似な三角形を見つけよ 「△ABCとABCDを考え こ と D とで」とあるので、 を引くことによってでき 角形の内角に着目し、 ① a 三角形を見つける。 ∠BDC=180°- (∠CBD+ ∠ACB) =180°- (36°+72°)=72° B C ・は36 ∠ACB= ∠BDC=72° となるから, BCD は, BC = BD, ∠CBD = 36° の二等辺三角形である。 よって △ABC ABCD したがって, AB:BC =BC:CD より AB BC ア BC CD ...... ① また,∠BAC= ∠ABD=36° となるから, △ABD は AD = BD の二 等辺三角形である。 26 STEP 直角三角形に着目しよう 三角比の定義にもとづい 直角三角形に着目する。 わち 36° を含む直角三角形 k 54° を含む直角三角形 18° を含む直角三角形 を見つけ、それぞれの三角 をどのように表すことがで るかを考える。 F
見つけよう CD を考えるこ ここで,BC=a, AB=ka (a>0,k> 0) とおくと BC=BD=AD= a となるから DC=AC-AD=ka-a ①より, ABCD = BC であるから A で、線分 BD ってできるミ 目し、相似な ka (ka-a)=a² α 0 より k(k-1)=1 ka²(k-1)=a k-k-1=0 1±√5 k = 2 k0 より k=1+√5 2 AB ka よって ====== BC =k= a CA ABHA BC = k とおいたことに相当する。 ka ka 比の値を求めたいので, AB = b などとおくよりも、このように おくとよい。 ABA B' a-C OATIA 映画(DA) A 」 2 図形と計量 よう とづいて、 次に, AHD の∠DAH に対して余弦の定義を用い ると ka する。すな cos 36°= AH AD 2/36° ① ...... ② B 10 B Point 形 形 △ABD は二等辺三角形であるから, 点Hは辺AB の H.54% XD 三角比の定義 図のような△ABC C 中点であり AH= ka 2 において Eb a 形 ② sin A = a B C の三角比 とができ ka 1 k cos 36° 1+√5 A&cosA= CAS B C X === 2 a 2. 亅1 a tanA= さらに,∠ADH=90°∠DAH=90°-36° =54° であるから, △AHDの∠ADHに対して正弦の定義を用いると Cam (LA-S- sin 54°= AH AD (B Point 1+√√5 ②より, これは cos 36° と同じ値であるから sin 54°= [C 12 0 また,点Aから辺BCに垂線を引き, 交点をKとすると A ZBAK = =1/12/<BAC= =18° 36° 18° 2 BK = BC=AM ka であるから, △ABK の∠BAK に対して正弦の定義 を用いると CIA sin (90°-0) = cos 0 を用いて、次のように求めても よい。 sin54°= sin(90°-36°) = cos 36° 101+√5 4 AD BK sin 18° B Point AB a 1 1 1 21+√ × = = 2 ka 2k 1+√5 Polit 1016 CA B C a. K 2 0+0A-KIA 08+0A0- UAB 」2 (A) (L-AAC) 求められる力 Point 求めたい正弦や余弦の値があるとき, その角を含む直角三角形を図の中 に探してみたり、自分で垂線を引き、 直角三角形を作ってみよう。 本間 は二等辺三角形を多く含むため、頂点から底辺へ垂線を引くと底辺の中 点で交わることが多く, いろいろな値を求めやすくなる。 数学化する力 図形の特徴をとらえて, 三角 形の辺の長さを文字で表すな ど、数学的に考えられるよう にする力が求められる。 -27-

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