Question

ろーそん

横向きの写真ですみません。
至急お願いいたします。

中心が (41)
a
2
a,
円 C が直線 y=-x+
+/12/
また、この2交点の距離の最大値を求めよ.
で、半径がαの円をCとする.
と異なる2点で交わるようなαの値の範囲を求めよ

図形と式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

とりあえず範囲

きらうる

円の方程式は(x-a)²+(y-a/2)²＝a²
y＝-x+1/2との交点は、円の式に代入して
x²-2ax+a²+(-x+1/2)²-a(-x+1/2)+a²/4＝a²
→　x²-2ax+a²+x²-x+1/4+ax-a/2+a²/4＝a²
→　2x²-(a+1)x+a²/4-a/2+1/4＝0
→　2x²-(a+1)x+(a-1)²/4＝0
この式の解をx＝α、βとすると、
円と直線との交点は、
P(α、-α+1/2)、Q(β、-β+1/2)として、
PQの長さが最大になればいいので、
PQ²＝(β-α)²+(-β+1/2+α-1/2)²
　＝2{(α+β)²-4αβ}…※
円と直線との交点のx座標がα、βとなるので、
解と係数の関係より、
α+β＝(a+1)/2、αβ＝(a-1)²/8　を※に代入して
PQ²＝2{(a+1)²/4-(a-1)²/2}
　　＝1/2{a²+2a+1-2(a²-2a+1)}
　　＝1/2{-a²+6a-1}
　　＝1/2{-(a²-6a)-1}
　　＝1/2{-(a-3)²+8}
　　＝-1/2(a-3)²+4
つまり、PQの最大値は、a＝3のとき、PQ²＝4からPQ＝2