Question

rika． 無浮上

(2)と(3)がわからないです。解説お願いします。

56 第2章 数列の極限
応用問題
実数に対して、「ェを超えない最大の整数」を[z]と書くことにする
例えば
[1.5]=1, [2.4]=2, [3]=3
である、数列{an)の一般項をαn= [72] とおく。
(1) 1, 2, 3, a を求めよ.
(2) 実数ェに対して, x-1<[x] ≦ x であることを示せ.
(3) はさみうちの原理を用いて,次の極限を求めよ.
an
lim
11-00 n
講
[x] という記号をガウス記号といい, xを超えない最大の整数を表
します。 ガウス記号の意味を、図形的に見ておきましょう。 数直線
に,下図のように整数の点(格子点)をとります。このとき,[x] は数直線
実
で
h

解答
2
a2= |=[1]=1.
(1) a=[]=(0.5)-0. a-]-1-1
3
as[2]-[1.5]=1. a=[2]-[2]=2
(2) [x] は,数直線上でxから左 (自分自身も含む)
にある最も近い格子点(右図) なので
[x]≤x<[x]+1
① より [x]≦x, ②より x-1<[x] なので
x-1<[x]≤x
[x] x [x]+1
I
格子点

コメント
例えば, [x] =1となるのは1≦x<2の
実数 [x] =2となるのは2≦x<3の実数
です。 y= [x] のグラフは,右図のようにな
ります。このグラフから, x-1<[x]Sx を
読みとることもできます。
(3) (2)より
2
すべての辺をnで割って
すなわち
57
1=2
y=x-1
-1
-y=[]
-2
第2章
1 1 an 1
S
2 n
72 2
1 1
1
1
1
(左辺も右辺も
lim
lim
∞2
2
∞2
2
n→∞で
に収束する
なので、はさみうちの原理より
an 1
lim =
n 2
コメント
厳密にいうならば、[号のイ
72 1
n
の値は, nが奇数なら
nが偶数なら
2 2
2
です。ただ,nが大きくなれば、こんな1/12 程度の増減はあってもなくても同
じですから, 大ざっぱに
< =
と見積もってしまうのが,ここ
でのポイントです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

(2)からいきましょう。(2)およびその解答のどういったところがご不明でしょうか？

フラッグ

何が分からないのか、上手く説明しづらいと思ったら相談して下さいね〜

rika． 無浮上

マーク部分の不等号がどうしてこのようになるのかわかりません。

フラッグ

解説してみました。丸数字の使い方が、お手元の教材とは違いますがご容赦ください。
大丈夫なら(3)へ行きたいと思います。引っかかることがあれば、お手数ですが再度質問して下さい🙇‍♀️
(3)に進む場合、分からないことを記しておいていただけると幸いです。

rika． 無浮上

ありがとうございます！
(3)のすべての辺をnで割っての部分は、収束することを確かめるために行っているということですか?

フラッグ

「何が」収束するとおっしゃっているのか、やや不明瞭だったので、問題を理解するのに必要なことを一通り解説しました。時間がかかってしまいすみません🙇‍♀️
不明点はありますか？

rika． 無浮上

丁寧に解説してくださりありがとうございます！理解することができました。