Question

かなかな

この問題の(1)なのですが、f(x)+gxが連続関数であるという断りはいるのでしょうか。この重要性がいまいちわからないです。
また、[1]と[2]に分ける理由がわからないです。

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重要 例題 148
シュワルツの不等式
00000
(1)f(x),g(x)はともに区間 a≦x≦b (a<b) で定義された連続な関数と
する。このとき,tを任意の実数としてS(f(x) +tg(x))dx を考えるこ
とにより,次の不等式が成立することを示せ。
{Sf(x)g(x)dx}' = (f(x)dx)("{(x)dx)
S
また,等号はどのようなときに成立するかを述べよ。
(2) f(x) は区間 0≦x≦ で定義された連続関数で
・A
{(sinx+cosx)/(x)dx}" (f(x))dx, および f(0)=1
を満たしている。 このとき, f(x) を求めよ。
[類 防衛医大]
p.230 基本事項 2|
CHART & SOLUTION
(1) 不等式 A をシュワルツの不等式という。
{f(x)+tg(x)}20 から ${f(x)+1g(x)}dx≧0
左辺はtの2次式で表されるから,次の関係を利用。
USD
pt+2gt+r≧0(tは任意の実数)>0,
1/20 またはp=q=0, 0
(2)(1) において g(x)=sinx+cosx で等号が成り立つ場合。
解答
(1)=f(g(x)dx, gff(x)g(x)dx,r=f(f(x)dxrp を証明する。
とおく。
[1] 常に f(x)=0 または g(x)=0 のとき
不等式 A の両辺はともに0となり,Aが成り立つ。
[2] [1] の場合以外のとき
t を任意の実数とすると
+0dx=0
p = 0, y = 0
S(f(x)+tg(x)dx=S[{f(x)}2+2tf(x)g(x)+12{g(x)}2] dx
=12f(g(x)dx+21ff(x)g(x)dx+${f(x)dx
= pt2+2gt+r
(f(x)+4g(x)}220であるから
${f(x)+tg(x)}dx≧0
......
すなわち, 任意の実数に対して pt2+2gt+r≧0
ここでp>0 から, tの2次方程式 pt2+2gt+r=0 の
判別式をDとすると,不等式①が常に成り立つ条件は
D≤0
①が成り立つ。
← {g(x)}2≧0 から
p=√(g(x)}³dx≥0
p = 0 から p>0
→常に手ではない

D.
=d-pr であるから
q²-pr≤0
ゆえに g'spr
g's pr
[1][2]から
q²≤prJE
すなわち, 不等式が成り立つ。
100
23
23'
中全
また, [2] において, 不等式 A で等号が成り立つとすると,等号が成り立つ条件。
10 から 2次方程式 pt2+2gt+r=0 が重解 t=α を
A
もつ。
よって, pa2+2ga+r=0 から
GAS ${f(x)+αg(x)dx=0
・B
AO
f(x), g(x) はともに連続関数であるから f(x)+αg (
も連続関数であり, B から, 区間 a≦x≦b で常に 0, すな
わちこの区間で, 常に f(x)=-αg(x) である。
これと [1] から, 不等式 A において 等号が成り立つのは,
区間 a≦x≦b で常に f(x)= 0 または常にg(x)=0 ま
たはf(x)=kg(x) となる定数kが存在するときに限る。
(2) g(x)=sinx + cosx とすると
とすると
← {f(x)+αg(x)}2≧0 であ
るから,Bが成り立つ
のは常に
{f(x)+ag(x)}2=0 の
とき。
← -α=k とおく。
Sn(g(x)dx=S(1+sin2x)dx=
sin 2x) dx=[x-
1
cos2x =π
2
よって,f(sinx+cosx).
よって, {f (sinx+cosx)f(x)dx=元。((x)dx から
{(x)(x)dx)-(C(())(S'{(x)dx)
これは、(1)の不等式で等号が成り立つ場合であり, 区間
xf(x), g(x)が常には0でないから
f(x)=kg(x)=k (sinx+cosx) (kは定数)
と表される。
f(0)=1 から k=1
合 (sinx+cosx)2
=1+2sinxcosx
=1+sin2x,
[x-cos2x]
cos 2x
f (0) =1から。
(1)の等号成立条件から。
mif
mil
ゆえに
f(x)=sinx+cosx

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

じくじ

f(x)+gxが連続関数であることも、「常にf(x)+gxが0となる」ための条件の一つであるからです。
場合分けの意図については、うまく読み取れませんでした…申し訳ないです。ですが、常にg(x)=0となる場合を分けて考える必要があることは理解できます。二次関数pt^2+qt+rが直線となり、二次方程式の考え方が使えないからです。