Question

八

2023年度11月進研模試の数学です
(3)の場合分けについてなのですが、模範解答(2枚目)の場合分け(ii)、「0<2a<1」の1はどこから出てきたのですか？なぜ2じゃなくて、1になるのか教えてください！
よろしくお願いいたします

3 2つの2次関数f(x)=ax2-6ax+9a-1, g(x)
αは0でない定数とする。
== -x2+4ax-4a2+1 がある。 ただし,
(1) y=f(x) のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) 0≦x≦2 における f(x) の最大値から最小値を引いた値をPとする。Pをαを用いて
表せ。
(3)
a <1 とする。 0≦x≦2 における g(x) の最大値を M, 最小値を m とする。 (2)のPに
ついて, M-m=P となるようなαの値を求めよ。
(配点 20)

B
(3)
g(x)=-x+4ax -4 +1
=-(x2-4ax+4a²)+1
=-(x-2a)+1
よって, y=g(x) のグラフの頂点の座標は (21)
(i) 2a < 0 すなわち α < 0 のとき
0≦x≦2において, g(x)はx= 0 で
最大, x=2で最小となるから
M=g(0)=-4a²+1
m=g(2)=-4α+8a-3
α < 0 のとき, P=-8α であるから,
M-m=P より
(-4a2+1)-(-4a²+8a-3)=-8a
-8a+4=-8a
これを満たすαの値はない。
(ii) 02a≦1 すなわち 0 <a≦
のとき
0≦x≦2において, g(x) は x=2αで
最大, x=2で最小となるから
M=g(2a)=1
m=g(2)=-4a2+8a-3
<a≤ 1/2 のとき,P=8a であるから,
2a
1
グラフの軸 x=2α が定義域の左
2a
10
x 外にある場合。
y=g(x)
x
グラフの軸 x=2a が定義域内の
中央,または中央より左側にある場
合。
y=g(x)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

図を描いてみれば、区間の中央1を境目に、
軸2aが1より左か右かで
最小値の位置が変わる、ということがわかります

どう場合分けするかは、図を描いてつかみます

八

わかりやすい図まで書いていただきありがとうございます！！