Question

よーつう

⑴の問題です。解答とは全然違ったんですけど、私の解き方でもいいかどうか教えてほしいです🙏🏻

1
(1)解と係数の関係より、解を〆.B.8とおくと
=-a, p=b8=-C
となる。
a,b,cは整数であるから解はすべて整数。
よって解の一つであるとは整数。

【1】
整数を係数とする3次式 f(x)=x+ax²+bx+c について,次の各設問に答えよ.
(1) 有理数rが方程式f(x)=0の1つの解であるとき, rは整数であることを示せ.
(2) 整数 f(1),(2),(3)のいずれも3で割り切れないとき, 方程式 f(x) =0は有理数の
解をもたないことを示せ.
(1) 互いに素な整数m,n(m≧1) を用いて有理数解を
n
r =
m
とおくと
m
( n ) ³ + a ( m ) ²
n
+6· +c=0
m
n³
+ an² + bmn + cm²= 0
m
である.
(iii) n=2のとき
である.
f(n) =n+an²+on+c
≡ 2+a +26 + c = 0 (③)
ここで,a,b,cm, nはすべて整数であるから,
n³
以上より,任意の整数nに対してf(n) は3で割り
切れないので f(n)=0を満たす整数nは存在しない。
しかしこれは ① に矛盾する.
m
も整数となる.mとnは互いに素であるから
m=1
である. よって
r = n
であるから, 題意は示された.
☐
(2) 背理法で示す. 方程式 f(x) = 0 が有理数の解をもつ
とすると, 整数を係数とする方程式であるから (1) より
この解は整数となる. この整数の解をnとすると
である.
f(n) = 0 ……①
以下,3 を法とする. 条件より整数f(1), f(2),
f (3) のいずれも3で割り切れないので
より
f(1)=a+b+c+1 ¥0
f(2) = 8+4a +26 + c ¥0
f(3) = 27+9a +36 + c キ 0
a+b+c+1キ 0 ...... ②
a +26 + c + 2 0 ...... ③
c ¥0 ...... ④
が成り立つ. よって
(i) n=0 のとき
である.
f(n) =n+an² + bn+c
(ii) n=1のとき
≡ c¥0 (④)
f(n)=n+an²+on+c
=1+a+b+c ¥ 0 ( ② )
ゆえに、方程式 f(x) =0は有理数の解をもたない.
☐

整数 整数と整式、有理数と有理式の類似 解と係数との関係 高校生 数学 高３ 数ⅱ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

解と係数の関係が違うようです
α+β+γ = -a、
αβ+βγ+γα = b、
αβγ = -c
です

よーつう

間違えていました💦
正しい解と係数との関係を使っていたら示せますか？

和

その方針では、私には思いつきません

有理数かどうかわからない他の解
（無理数や虚数の可能性すらある）
を話に出してきたために、
難易度が格段に上がった印象です

よーつう

わかりました！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️