Question

Clearnoteユーザー

どうして5番はエネルギー保存ではなく運動方程式でとくのですか？

必解 49. 〈振り子の運動〉
図のように, 長さLの伸び縮みしない軽い糸の端に質量m
の小球を取りつけ,他端を点Aに固定する。 点Aから距離 1/
だけ真下にある点には細い釘があり, 糸は釘にかかる。 小球
は鉛直面内のみを運動し, 空気抵抗は無視できるものとする。
重力加速度の大きさをg として,次の問い(1)~(5)に答えよ。
小球
BO
L
初めに, 糸がたるまず水平になる位置Bから小球を静かにはなした。
(1) 小球が最下点Cを通過するときの速さを求めよ。
(2) 糸が釘にかかる直前の, 糸の張力の大きさを求めよ。
(3) 糸が釘にかかった直後の, 糸の張力の大きさを求めよ。
00
NT
OD
(4)糸が釘にかかった後,小球が鉛直方向から角度 6(0<<この位置に達したときの
糸の張力の大きさを求めよ。
次に, 小球を位置Bにもどし, 小球に下向きの速さを与えた。
(5)小球を点Aに到達させるために必要な, 小球に与える下向きの最小の速さを求めよ。
[24 富山県大〕

ネルギー保存則「12/23mo
mo+mgh=定」 (高さの基準 h=0 は点C)より
よって=2gL
49 〈振り子の運動〉
(1) (4) 力学的エネルギー保存則を用いる。
(2)~(5) 半径方向の運動方程式を立てて、に力学的エネルギー保存の結果を代入する。
(5) 小球が点に達する点Aにおいて糸がたるまない張力20
(1) 最下点Cにおける小球の速さをひとおくと、点Bと点Cにおける力学的エ
となり,同じ式が得られる。
0 (中心)
1/2 (半径)
T₂
m
0+mgL=2
ma2+0
(2)糸が釘にかかる直前の糸の張力の大きさを とする。 小球が点Cに到達
する (糸が釘にかかる) 直前に小球が受ける力を図示すると図aのようにな
る。このとき小球は半径Lの円運動をしている。半径方向の運動方程式を立
てると
L
= Ti-mg
①式を代入して整理すると
m2qL=T₁-mg
よって Ti=3mg
(3)糸が釘にかかった直後の糸の張力の大きさをTzとする。 小球が点Cに到
達した (糸が釘にかかった) 直後に小球が受ける力を図示すると図bのよう
になる。このとき小球の速さはで半径/1/2の円運動をしている。半径方
向の運動方程式を立てると
m=T2-mg
2
①式を代入して整理すると
図a
←A 別解 遠心力
m-
mg
を含めた半径方
向の力のつりあいを考えると
Ti=mu+
+mg
50 〈半円形状の面にそった円運動〉
(3)方向は運動量保存則が成りたつ。 また、 小物体と台をあわせた全体では力学的エネルギーが保存する。さらに、台
から小物体を見ると円運動となることを利用する。
(4) 運動量保存則が成りたつときは、重心の速度は一定値になり、重心は静止, もしくは等速直線運動する。
(1) 小物体にはたらく力は, 中心方向を向く垂直抗力の大きさをNとおくと、
図のようになる。 この垂直抗力は小物体の速度と常に直交するので、仕事
をしない。 よって力学的エネルギーが保存する。 重力による位置エネルギー
の基準を小物体の角度8の位置にとると
0+mgRsin0=
moi2+0
Rsine
よってv=v2gRsin0
...... ①
mg
(2) 小物体は円運動するので、中心方向の運動方程式は
図a
←C 別解 遠心力
#CB
.2mVa
V2Ti+mg
よって T₁=-
-mg
V=
L
を含めた半径
m
B,
(中心
小球が点Aに到達するためには、糸がたるんではいけないので, T20 を満
たす必要がある。この条件に③式を代入すると
方向の力のつりあいを考えると
T₁=2mV2
gL
--mg20
よって
V2
L
V
m=Ti+mg
2
となり同じ式が得られる。
[L(半額)
これより求める最小の速さは
gl
mi
=N-mgsine
R
BC
となる。 よって N=m- + mgsino
R
2gL
= T2-mg よって T2=5mg
mg
L
=m
2gRsino
R
+ mgsine (① 式より)
2
図b
......②
(4) 点Dにおける小球の速さを とおくと, 点と点Dにおける力学的エネル
ギー保存則 (高さの基準 = 0 は点C)より
=3mgsin0
0+mgL=12mup+mg2
mg/(1-cos 0)
0 (中心)
(半径)
F=Nsin0+Mg
よって²=gL(1+cos6 )
②
COS
DD
D
点Dにおける糸の張力の大きさをT とする。小球が点Dに達したときに1/2(1-cos
小球の受ける力を図示すると図cのようになる。小球は半径 1/2の円運動
mg cos
8
M_
mg
C
また,台にはたらく力は図b (台を固定するのに必要な水平方向の力はかい
ていない)のようになるので、 鉛直方向の力のつりあいの式は
=3mgsin'0+Mg (②式より)
=(3msin²0+M)g
=4のときのグラフは
N.F
7mg
Amg-
Mg
図 b
m
3mg-
をしている。 半径方向の運動方程式を立てると
図 c
M
F=3mg(sin
sin 20+
3ml
002_
mi
--T3-mg cos
2
8
T=mg(2+3)=5mg
となり,(3)で求めた T と一致
する。
=3mg sin²0+-
であるので図cのようになる。
図c
(3) 小物体と台が互いに及ぼしあう垂直抗力の大きさをNとおくと, はたら
く力は図dのようになる。 x方向は互いに力を及ぼしあうだけなので, 運
動量保存則が成りたつ。 鉛直上向きにy軸をとって, 小物体の速度を
(u2x, uzy), 台の速度を (U, 0) とおくと
②式を代入して整理すると
←B この結果に 6=0
を代入すると
gL(1+cos0 )
L
--T3-mg cos よって T3=mg(2+3cos0 ) B
(5)点Bで小球に与える速さをV とすると, 点Bと点Aは同じ高さであるので,
力学的エネルギー保存則より点Aでの小球の速さもVである。
小球が点Aに到達したときの糸の張力の大きさを T, とする。 小球が点Aに
達したときに小球の受ける力を図示すると図dのようになる。 小球は半径
vm
mg
(半径)
TA
るので
*0 (中心)
の円運動をしている。 半径方向の運動方程式を立てると
mu2x+MU=0
となる。 また, 小物体と台をあわせた全体の力学的エネルギーが保存す
0+0+mgRsino=1/23m(u2+u23²)+1/2 MU2+0
mg
N
Mg
図d
......4)

円運動

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

素隹

確かにエネルギー保存を使えばその高さにある物体の速さを求めることはできます。
しかし、その物体が何秒時点でその高さに到達したのかとかは過程のことはわからないわけです。
つまり、エネルギー保存則を使って速度を求めるのは、その物体が絶対にそこを通るとわかっている時しか使えないわけです。
しかし、今回の問題ですと、本当に最高地点に到達するのかわからないですよね。
実際、添付した画像のような運動をする可能性もあります。
そして、過程を知るためには、エネルギー保存則よりも運動方程式が適しているのです。
解説の通り、糸がたるまないことが円運動をしていることの条件になるため、張力Tが0より大きいと絶対にA地点を通るとわかるため、その不等式を立てるわけです。

Clearnoteユーザー

理解できました！
ありがとうございます！！