Question

りる

なぜ数値代入法は吟味が必要で、係数代入法は吟味は必要ないのでしょうか？

22
第1章 式と証明
基礎問
11 恒等式
9/24%25
(1)x
次の各式がェについての恒等式となるような定数a, b, c の値
(2)xxx(1) 20
と3つの文字だから
3つ式をたてる
①に,x=0, x=1, x=2 を代入して
b=c
a+b+1=0 (a=-3
1+a+b=0
..
[8+2a+b=c +2
a=-3
b=c
..
b=21
23
St
第1章
を求めよ.
(1)x+ax+b=(x-1)(x+c)
(2)a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3.x+4
の等式は, 恒等式と方程式の2つに分けられます.
精講
恒等式 : すべての数xで成りたつ等式
方程式: 特定のæでしか成りたたない等式
(この特定のェを解といいます)
恒等式の問題の考え方には次の2通りがあります。
I. 係数比較法
ar2+bx+c=ax2+bx+c' がェについての恒等式ならば,
II. 数値代入法
a=α', b=b',c=c'
等式がすべてので成りたつので, rに0とか1とか具体的な数値を代入
する.
逆に,このとき, 左辺 =x-3+2,
+6
c=2から
◆吟味が必要
(右辺)=(x-1)(x+2)=(x²-2x+1)(x+2)=x-3+2)
よって, 適する.
(2) (解I) (係数比較法Ⅰ)
(左辺)=a(x²-2x+1)+6(x-1)+c=ax²+(b-2a)x+a-b+c
右辺と係数を比較して
a=2
b-2a=-3
la-b+c=4
(係数比較法Ⅱ)=X-1
(解Ⅱ)
x=t+1 とおくと
a=2
b=1
c=3
X-1のままでは楽しちゃうと…??
(左辺) =at2+bt+c, (右辺)=2(t+1)2-3(t+1)+4=2t°+t+3
係数を比較して, a=2, 6=1,c=3
(解III) (数値代入法)
a(x-1)2+6(x-1)+c=2x²-3x+4 ... ②
②の両辺に,x = 0, 1, 2 を代入して
??
ただし、この方法で得られた条件は, 恒等式であるための必要条件
(I・A25) なので、解の吟味 (確かめ) をしなければならない.
どちらの手段によるかは状況によるので善し悪しは一概にはいえませんが,
ここでは,2問とも両方の解答を作っておきますので, 比較してください.
解答
(1) (解Ⅰ) (係数比較法)
(右辺)=(2-2x+1)(x+c)=m+(c-2)x2+(1-2c)x+c
左辺と係数を比較して
[a-b+c=4
c=3
_a+b+c=6
[a=2
b=1
_c=3
逆に,このとき, 左辺 =2(x-1)2+(x-1)+3=2x2-3x+4=右辺
となり適する.
ポイント
恒等式は次の2つの手段のどちらか
I. 係数比較法 (吟味不要)
Ⅱ. 数値代入法(吟味必要)
◆吟味が必要
c-2=0
1-2c=a
|c=b
(解Ⅱ)(数値代入法)
[a=-3
b=2
Lc=2
+ax+b=(x-1)(x+c) ...... D
演習問題 11
Dan
3-9x2+9x-4=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cr+d がェの
どのような値に対しても成りたつとき, a, b, c, d の値を求めよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

普通の同値な変形なら、
逆の確認（吟味）はいりません
同値でない変形が特殊で、逆の確認がいります

恒等式はxに何を入れても成り立ちます
xに0とか1とか2とかその他何を入れても成り立ちます

今回はxに0と1と2だけ入れてa,b,cを特定しましたが、
それ以外の値を入れて確かめていません

もしかするとx=3とか-1とか1/2とかを入れると、
先ほどとは異なるa,b,cの値が出てしまうかもしれません

といって、無数に存在する数をすべて入れて
確かめるわけにもいきません

ここでは、たとえば(2)なら
　恒等式（xに何を入れても成立）……①
　⇒ xに0,1,2を入れても成立……②
　⇔ a=2,b=1,c=3……③
つまり①⇒③の確認はまずとれているので、
次に、逆:③⇒①を確認すればOK、
という理屈です

なお
　2次以下の等式について、
　3個の異なる値に対して等式が成り立てば
　この等式は恒等式
という定理がありますが、
逆を確認しないなら、
この定理を明言する必要があるかと思います
であれば、素直に逆を確認すればよさそうです

りる

なお〜とかいてあるところの説明がよく理解できなかったので、申し訳ないのですがもう一度そこのところを詳しく教えていただけますでしょうか？

和

「n次以下の等式について、
n+1個の異なる値に対して等式が成り立てば
この等式は恒等式」という定理があります

今回はn=2の場合です

「逆に〜」の代わりに
「与えられた2次の等式について、
3個の異なる値に対して等式が成り立つので
この等式は恒等式」
と書いてもよいです

でも模範解答以上の面倒かと思うので、
模範解答どおりに書けばよいです