Question

かなかな

青線を引いたところなのですが、なぜ0<x<1の時のことを考えるのでしょうか。また、積分区間は閉区間内で考えるじゃないですか。等号が成り立たないのは開区間の時だけなのに、②の式ではイコールがつかないのはなんでですか？
すいません。わかりにくいかもです。

232
基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1)
00000
1
が成り立つことを示せ。
(1) 0≦x≦1 のとき,不等式
1+x2=1+x4
1
So
(2) 不等式 x1 を示せ。
CHART & SOLUTION
[類 静岡大]
p.230 基本事項 2
(2)これまで学んできた知識では
1
1+xdx の計算ができない。そこで
f(x)≧g(x) ならば f(x)dx≧Sg(x)dx
(等号は、常に f(x)=g(x) のときに成り立つ )
を(1)の結果に適用する。定積分=その定義域である関区間内に含まれる
閑区間を指定して定する
解答
(1) 0≦x≦1 のとき
(1+x2)-(1+x)=x2(1-x2)≧0
x20,1-x2≧0
よって 1+x2≧1+x>0
ゆえに
1+x2 1+x4
(2)(1) から, 0≦x≦1のとき
積分区間がOcx
1
1+x2
1
1+x4
①
ただし, 0<x<1 のとき ①の等号は成り立たない。
1+x2
よってx Socx
dx
4
・②
+Sr<St
dx
I=
o1+x2
において, x=tan0 とおくと
1
==
1+x2
xと0の対応は右のようにとれる。
1+tan'=cos20, dx=
等号は成り立たない。
1
にはx=αtan 0
x²+a²
cosig do
xC
0 → 1
inf 本間では,(1)(2)の
π
00->>>
4
I=
ゆえにco50.com doS30-[0]-4
03²o
ヒントになっている。 (2)の
みが出題された場合は
π
==
=
=
COS2
また
Sdx-[x]-
=1
これらを②に代入すると<<1
)(x)かつ
Sof(x)dx=Sg(x)dx
=1 を満たす f(x), g(x)
を見つける必要がある。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

開区間・閉区間に囚われすぎているのかなと思います

①は、x=0のとき2つとも等号が成り立ちます
x=1のとき左の等号が成り立ちます
0<x<1のときどちらの等号も成り立ちません

だから、0≦x≦1全体としてまとめたときに
成り立つのは、=のつかない②です

0≦x≦1の全体にわたってf=gだったら
∫ f dx = ∫ g dxですが、
0≦x≦1の少なくとも一部でf=g、
でしかないので、面積が=にはなりません

かなかな

ありがとうございます