Question

むにゅたん

青線部分のグラフの意味が分かりません。文字kが何を指しているか、また下の表はなぜこうなるかを教えてください🙇‍♀️

3
【必須問題】 (配点 50点) 豊橋S)園S
y
k を定数とする. 放物線
F:y=x2-4kx+4k24
がある. また, 軸が直線 x=2 である放物線 F を G とする.
(1)Fの軸が直線 x=2 であるとき, kの値を求めよ.
kel and S-
(2)(i) Go をy軸に関して対称移動した放物線を G1 とする. G の方程式を求めよ.
(ii) Go をx軸に関して対称移動した放物線を G2 とする. G2 の方程式を求めよ.
(3) 放物線G の頂点をA,
(2) で求めた放物線 G1, G2 の頂点をそれぞれB, Cとし,
線分AB と線分AC で作られる折れ線をLとする. 放物線Fと折れ線L (端点を含
む)の共有点の個数をんの値で分類して求めよ.
y=(x-21424
1x-21)²+4
x

について考える.
(1) ① を満たすxの範囲を求めよ.
XC2
①,②を同時に満たすxの範囲を求めよ
【(2) (日) の別解】
Go:y=x4x をx軸に関して対称移動したGの方程
式は, G の方程式において,
を -y に置き換える
と得られるから, 求める G, の方程式は,
関数y=f(x) のグラフCを
軸に関して対称移動
(3) 思考力・判断力]
道しるべ)
y=x4x
y=-x+4x.
して得られる曲線をCとする
と、Cの方程式は, y=f(x)
において、
(2)(i) の別解終り)
y-yに置き換える
と得られる。
の値の変化に伴い, Fの頂点がどのように移動す
3-3
るか考える.
3点 A, B, C の座標は,
A(2,-4), B(-2, -4), C(2, 4)
であるから, 折れ線Lは次の図のようになる.
C(2,4)
B(-2, -4)
(1)より, Fの頂点の座標は,
である.
→x
0
L
"A(2,-4)
(2k, -4)<
“よって, Fの頂点のy座標はkの値によらずつねに -4
であり, kの値を増加させると, Fの頂点のx座標2kは増
加する.
したがって, kの値を増加させるように変化させると, F
の頂点は直線AB上をx軸の正方向へ動く.
そこで, Fの頂点を直線AB上で動かしながら, 放物線F
と折れ線Lの共有点の個数を数えていく.
まず, 折れ線Lを線分AB と線分ACに分けて共有点の
個数を数える
-42-
C:y-f(x),
Ci-y=f(x)
◆F:y=x2-4kx+4k-4
y=x2-4kx+4k24
=(x-2k) 2-4.
(T)
(2)
3-4
Fと線分AB (端点を含む) の共有点の個数について
k=-1 k=1
F
B(-2,-4)
A(2,-4)
kの値を増加させると, Fは上の図の太い矢印の方向に
動く.
Fの頂点が点Bに一致するとき,
2k=-2より, k=-1. <
Fの頂点が点Aに一致するとき,
2k=2より, k=1.
よって, kの値に対する放物線F と線分AB (端点を含
む) の共有点の個数は次の表のようになる.
んの値の範囲
k<-1
-1≤ k ≤1
1<k
共有点の個数
0
1
0
(イ) Fと線分AC (端点Aは除き, 端点Cは含む)の共有点
Fの頂点の座標は,
(2k, -4).
について.
点Aが共有点となるのは, (ア)よりk=1のときである･････ A が共有点となる場合はすで
から, k≠1 で考える.
ア)で考えている。
F
C(2, 4)
-x
10
A(2,-4)
んの値を増加させると, Fは上の図の太い矢印の方向に
動く.
F:y=x2-4kx+4k2-4 がC(2,4)を通るとき、
4=22-4k・2+4k²-4.
43-

解の公式より,
4k8k-4=0.
k-2k-1=0.
k=_(-2)±√(-2) -4.1.(−1)
土
2.1
Lシ
√8=√22.2=2√2.
2
2±√2<
=1±√2.
☆よって,Fが点Cを通るとき,すなわち,k=1±√2
k=1-√2
k=-1-
k=1k=1+√2
y
のときと,k=1のときのFの位置関係は次の図のように(イ)においては,k+1で考え
B
A
なる.
る.
k=1-√√2
R-1
k=1+√2
・軸の文字がK
したがって, kの値に対する放物線F と折れ線Lの共
有点の個数は次の表のようになる.
上の図より, kの値に対するFと線分AC (端点 Aは除
端点Cは含む)の共有点の個数は次の表のようになる.
kの値の範囲 k<1-21-√2sk<1 1 1 <ks1+√2 1+√2 <k
共有点の個数
0
1
20
1
20
以上, (ア)(イ)より, 放物線Fと折れ線Lの共有点の個
数を考えるときの場合分けの境界となる値, すなわち,
k=-1,1-√2, 1, 1+√2
におけるFは次の図のようになる。
0
|共有点の個数
kの値の範囲 k<-1 -1sk<1-21-11 <kal+√ 1+√<k()のとき.
線分AB との
1
0
の値の範囲
<1-isks ich
共有点の個数 20
1
0
線分AC との
共有点の個数
0
1
0
1
0
(イ)のとき.
Lとの
0
1
2
共有点の個数
11
0
共有点の個数
0
範囲 ViVis pastia
0
101
(ただし, 線分AB は端点を含み, 線分ACは端点Aは除き, 端点Cは含む)
以上から、 求める放物線 F と折れ線Lの共有点の個数
は,
k< -1, 1+√2のとき
0,
-1≦k<1-√2,1≦k≦1+√2 のとき, 1,
1-√2≤k<1のとき
2.
ポイントチェック
(答)
k を定数とする. 放物線
F:y=x-2kx+k2+2
があり,軸が直線 x=2 である.
(1)の値を求めよ.
(2)(i) Fをy軸に関して対称移動した放物線の方程式を
求めよ.
(i) Fをx軸に関して対称移動した放物線の方程式を
求めよ.
<-45->
(1) k=2.
(2)(i) y=(x+2)+2.
(ii) y=-(x-2)-2.

Answer 1

かき

まず、式の形を平方完成するとわかりますが、軸がx=2kなので、kは軸のx座標に関係してます。

解説のやりかたは、L字型の線分なので、このままでは捉えづらいので、ABとACに分けて放物線との共有点を考えてそれぞれのkの範囲を算出し、あとからそれらをまとめる、というアプローチです。

そして、該当の部分は、ACと放物線が共有点を持つときのkの範囲を求めているんです。
k=1±√2は、放物線が点C(2,4)通るときのkの値としてもとめられます。式に、x=2, y=4を代入すれば出てきます。