Question

やんさん

165〔4〕が何をやっているのかいまいちわかりません
教えてもらえると嬉しいです

基礎問
精講
256
165 四面体 (II)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B (4, 3, 5) をとり, ABを1辺と
する正四面体 ABCD を考える。
(1) JABI, AB-AC を求めよ。
(2) 辺AB を (1-t) に内分する点をPとするとき, PC・PD
|PC をt で表せ.
(3) CPD=0 とおくとき, cose を tで表せ.
COSOの最小値と,そのときのtの値を求めよ.
(1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と
思った人は問題文の読み方が足りません。
「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体
でしょうか.
(2) 164 のポイントにあるように, 平面 PCD で切って平面の問題にいいかえ
ます。
(3)空間でも,ベクトルのなす角の定義は同じです。
(1) AB=(2,1,2) だから,
JAB|=√4+1+4=3
解答
また, △ABC は正三角形だから,
π
<BAC=131
C-1, |AC|=|AB|=3
:: AB•AC=|AB||AC|cos/7/7
19
=3-3-11-11/1
2 2
2) PC=AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
3
::. PC・PD=(AC-tAB)・(AD-tAB)
1-t
B
=AC・AD-tAB・AC-tAB・AD+AB

CHECK!!
AACD, △ABDも正三角形だから
AC AD=AB・AD=AB・AC=9
2
◆正四面体の性質
257
よって, PC・PD=9t2-9t+-
また,|PC|=|AC-tAB|=|ACP-2tABAC+AB
120=9t2-9t+9
||PD|=|AD-tAB=9t2-9t+9 だから
cos =
PC・PD 18t2-18t+9
=
|PC||PD| 2(92-9t+9)
2t2-2t+1
2t2-2t+2
ろう!
やることと分
そして、
1
(4) cos 0=1-
1
212-21+2
=1-
わり算をすることで,
2t-1/2)
2 3
+
2
分子の次数を下げる
よって, t=1/2 のとき,最小値 1/3
ポイント
正四面体とは,4つの面がすべて合同な正三角形であ
る四面体
注 正三角すいと正四面体は異なります。
正三角すいとは,右図のように,
1つの面は正三角形, その他の面は,
合同な二等辺三角形であるような四面
体です.
B'

ベクトル

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Mr.Mr

最小値を求めよっていう問題は大体、平方完成します。
⑶で求めた値を平方完成する時、分子の値が複雑なので
平方完成しやすい式変形をしてます
この“1+分数”の形にする式変形は結構使えるので、
覚えておいた方がいいと思います