Question

ぽぱ

(で書いてるところがよくわかんないです、

*351 多項式で表される関数 f(x) は常に
f(x)+xf'(x)=x(x-2)(x-3)
を満たす。このとき, f(x) は 次関数である。 また, f(x) における
2次, 1次の項の係数をそれぞれ a, b とすると, a=
ある。
b=ウ
で
[11 武庫川女子大]

351 f(x) が n 次関数であるとする。
f(x)の最高次の項をAx" (40) とすると,与
えられた等式の左辺 f(x) +xf'(x) の最高次の項
Ax"+xnAx”-1=(n+1)Ax"
は
(n+1)A≠0であるから, f(x) + xf (x) は xの
n次式である。
るからい
一方,等式の右辺x(x-2)(x-3)はxの3次式で
あるから3
x
したがって, f(x) は3次関数である。
f(x)=Ax3+ax2+bx + B (A, B は定数) とおく
と
f'(x) =3Ax2+2ax+b
よってf(x) + xf'(x)
=Ax3+ax2+bx + B + x (3Ax2+2ax+b)
=4Ax3+3ax2+26x + B
=(土)
一方
係数を比較して
x(x-2)(x-3)=x3-5x2+6x
4A=1,3a=-5, 26=6, B=0
SU
3p=x
これを解くと
1
5
A
a=
b="3,B=0
1358
4
3'

Answer 1

木村【医塾】～受験の専門医によるオンライン個別指導塾～

右辺が3次式なので、左辺で一番次数が大きい項も３次のはずです。
ただ、現状はわからないので文字で置きましょう。→f(x)をn次関数（〇x^n+△x^n-1＋・・・）とすれば、一番大きな次数の項は「〇x^n」ですね。
＊解答では係数を〇ではなくＡにしているので、以下Ａx^nにしています。Aがゼロだと消えてしまってn次関数ではなくなるので、Ａ≠0です。
xf'(x)についても、f'(x)の最高次の項はf(x)の最高次の項を微分してAn・x^n-1ですね。これにxがかけられているので、Anx^nになります。
よって、左辺で次数が一番大きい項は、Ax^n+x・Anx^n-1＝Ax^n+Anx^n＝A(1+n)x^nになります。A(1+n)がゼロではないので、この項が消えない＝最高次がn次の式、ということで、f(x)+xf'(x)はn次式だということですね。